ΑΠΌ ΤΟ OM ΣΤΟΥΣ ΠΡΏΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΎΣ

 

από Alessandro Dolci

Πώς ο ήχος της δημιουργίας καταδεικνύει το μεγαλύτερο μυστήριο των μαθηματικών

«Οι μαθηματικοί προσπάθησαν μάταια να ανακαλύψουν κάποια τάξη στην ακολουθία των πρώτων αριθμών και έχουμε λόγους να πιστεύουμε ότι αυτό είναι ένα μυστήριο στο οποίο ο νους δεν θα διεισδύσει ποτέ».

Αυτά είναι τα λόγια του Leonhard Euler (Βασιλεία, 1707 - Αγία Πετρούπολη, 1783), ενός από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία. Ακόμη και σήμερα, τρεις αιώνες μετά τον Όιλερ, οι πρώτοι αριθμοί παραμένουν τυλιγμένοι σε απόλυτο μυστήριο, τόσο πολύ ώστε ο διάσημος μαθηματικός και εκλαϊκευτής της επιστήμης Marcus de Sautoy, στο βιβλίο του "Το αίνιγμα των πρώτων αριθμών" (πρωτότυπος τίτλος: "Η μουσική των πρώτων αριθμών"), εκφράζεται ως εξής:

«Στην καρδιά των μαθηματικών, της αναζήτησης της τάξης, οι μαθηματικοί μπορούν να ακούσουν μόνο τον ήχο του χάους. Οι μαθηματικοί δεν αντέχουν να παραδεχτούν ότι δεν υπάρχει εξήγηση για τον τρόπο με τον οποίο η Φύση επέλεξε τους πρώτους αριθμούς. Αν τα μαθηματικά δεν είχαν δομή, αν δεν είχαν τη δική τους υπέροχη απλότητα, δεν θα άξιζαν να μελετηθούν». Και πάλι:

«Είναι αλήθεια ότι οι φυσικοί συνηθίζουν όλο και περισσότερο στην ιδέα ότι ένας κβαντικός κύβος αποφασίζει τη μοίρα του σύμπαντος και ότι κάθε ρολός αυτού του κύβου καθορίζει πού θα βρουν ύλη οι επιστήμονες. Αλλά είναι κάπως ενοχλητικό να πρέπει να παραδεχτούμε ότι οι θεμελιώδεις αριθμοί στους οποίους βασίζονται τα μαθηματικά έχουν αναπτυχθεί από τη Φύση ρίχνοντας ένα νόμισμα, αποφασίζοντας τη μοίρα ενός αριθμού με κάθε ρίψη. Η τυχαιότητα και το χάος είναι αναθέματα για τον μαθηματικό»

Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που είναι αδιαίρετοι σε ίσα ολόκληρα μέρη. Στην Κίνα, ονομάζονται "ανδρικοί αριθμοί".

Η διάταξή τους είναι εντελώς χαοτική και απρόβλεπτη.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 … ?

Είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ποιος θα είναι ο επόμενος αριθμός της σειράς που θα εξετάζει την ακολουθία με γραμμικό τρόπο.

Μέχρι σήμερα, δεν ήταν δυνατό να κατανοήσουμε οποιαδήποτε λογική ή διαδικασία που θα μπορούσε να καθορίσει τη διάταξή τους. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, το οποίο χρονολογείται από τον Ευκλείδη (τέταρτος αιώνας π.Χ. – τρίτος αιώνας π.Χ.), διδάσκει ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι το αποτέλεσμα ενός και μόνο συνδυασμού πρώτων παραγόντων. Για το λόγο αυτό, οι πρώτοι αριθμοί ορίζονται επίσης ως τα άτομα των μαθηματικών και υπάρχει μια πολύ βαθιά σύνδεση μεταξύ της συμπεριφοράς των πρώτων αριθμών που είναι τα άτομα των μαθηματικών και της συμπεριφοράς των πραγματικών ατόμων, η οποία επομένως συνδέει την κβαντική φυσική και τη θεωρία αριθμών, τα μυστήρια των αριθμών με αυτά της ύλης.

Το 1973, στο θρυλικό Institute for Advanced Study στο Princeton, ο μαθηματικός Hugh Montgomery (1944) και ο φυσικός Freeman Dyson (1923-2020), συνειδητοποίησαν ότι η κατανομή των πρώτων αριθμών είναι στατιστικά ίση με εκείνη των ενεργειακών επιπέδων του πυρήνα ενός βαρέως ατόμου. Επομένως, η κατανόηση των πρώτων αριθμών σημαίνει επίσης διείσδυση στα μυστήρια της Κβαντικής Φυσικής. Ο ίδιος ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, αντιμέτωπος με την επανάσταση του κβαντικού χάους, είχε μια πρόταση άρνησης, με το διάσημο του: «Ο Θεός δεν παίζει ζάρια!»

Τι κρύβεται πίσω από το φαινομενικά αδιαπέραστο χάος των Πρώτων Αριθμών και τις χαοτικές κινήσεις που ζωντανεύουν τη μικροσκοπική δομή της Ύλης; Μια ζαριά, ή κάτι περισσότερο;

Για περισσότερα από 2000 χρόνια, οι μαθηματικοί προσπαθούν μάταια να διαλευκάνουν το μυστήριο των πρώτων αριθμών.

Ωστόσο, έχουν επιτευχθεί ορισμένα σημαντικά αποτελέσματα. Το πρώτο από αυτά χρονολογείται από τον Ευκλείδη, ο οποίος ήταν ο πρώτος που έδειξε το άπειρό του. Στη συνέχεια, ο Ερατοσθένης (Κυρήνη, περ. 276 π.Χ. – Αλεξάνδρεια, περ. 194 π.Χ.) ανέπτυξε το περίφημο κόσκινο του, ένα ευφυές σύστημα για το «κοσκίνισμα» των Φυσικών Αριθμών εξαλείφοντας σταδιακά τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού, εξετάζοντας στη συνέχεια μόνο τα υπόλοιπα, τα οποία είναι επομένως οι πρώτοι αριθμοί. Αυτό το σύστημα εξακολουθεί να αποτελεί τη βάση πολλών αλγορίθμων παραγοντοποίησης και κρυπτογράφησης σήμερα. Αλλά ακόμα και εδώ, μόλις εντοπιστούν οι πρώτοι αριθμοί, φτάνετε σε ένα ανυπέρβλητο εμπόδιο και πρέπει να σταματήσετε, χωρίς να είστε σε θέση να κατανοήσετε τη δομή πίσω από αυτούς. Το πρώτο αποδιοργανωτικό αποτέλεσμα, ωστόσο, οφείλεται στον Carl Friedrich Gauss (Braunschweig 1777 - Göttingen, 1855), τον Μπετόβεν των μαθηματικών. Ο Gauss συνειδητοποίησε ότι αν κάποιος εγκαταλείψει την ιδέα να ανακαλύψει τι καθορίζει την ακριβή θέση των πρώτων αριθμών και προσπαθήσει να τους μετρήσει, προκύπτει μια εξαιρετική κανονικότητα. Η ποσότητα των πρώτων αριθμών αυξάνεται με τρόπο που σχετίζεται στενά με τη συνάρτηση ολοκληρωμένου λογαρίθμου. Η εξαιρετική ανακάλυψη του Gauss οδήγησε σε αυτό που σήμερα ονομάζεται Θεώρημα Πρώτων Αριθμών, το οποίο δεν θα αποδειχθεί παρά πολύ αργότερα, στα τέλη του 19ου αιώνα.

Η ανακάλυψη του Gauss συνδέεται με αυτό που είναι μέχρι σήμερα το πιο σημαντικό αποτέλεσμα στους πρώτους αριθμούς από τον Bernhard Riemann (Breselenz, 1826 - Selasca, 1866), τον Βάγκνερ των Μαθηματικών. Ο Ρίμαν ανακάλυψε και απέδειξε ότι τα άπειρα μη τετριμμένα μηδενικά μιας συνάρτησης που σχετίζεται με μιγαδικούς αριθμούς, που ονομάστηκε προς τιμήν του συνάρτηση Ζήτα Ρίμαν, όταν αθροίζονται, με τη μορφή ηχητικών κυμάτων, στη συνάρτηση Ολοκληρωμένου Λογαρίθμου, δίνουν την ακριβή ποσότητα των πρώτων αριθμών και επομένως, κατά συνέπεια, τη θέση τους. Εδώ αναδύεται μια πρώτη σύνδεση με τον ήχο και επομένως με τη μουσική, την οποία πολλοί ειδικοί στη Θεωρία Αριθμών έχουν ονομάσει Μουσική Πρώτων Αριθμών. Υπάρχει μόνο ένα πρόβλημα: τα μηδενικά αυτής της συνάρτησης, εκτός από το ότι είναι άπειρα και πολύ δύσκολο να υπολογιστούν, φαίνεται να είναι όλοι παράλογοι αριθμοί, επομένως σχηματίζονται από άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία και φαίνεται να είναι επίσης υπερβατικοί αριθμοί, δηλαδή να εκφράζονται μόνο ως όριο μιας άπειρης σειράς πράξεων, όπως ο διάσημος αριθμός Pi. Η αντιστοιχία τους με τη θέση των πρώτων αριθμών είναι αληθινή και αποδεδειγμένη, αλλά εξακολουθεί να παραμένει κάτι πολύ σκοτεινό.

Αυτή η εξαιρετική σύνδεση, ωστόσο, υποδηλώνει ότι κάτω από το χάος που προέρχεται από τη διάταξη των πρώτων αριθμών υπάρχει μια απόκρυφη αρμονία. Στην πραγματικότητα, ο Ρίμαν υπέθεσε ότι αυτά τα μηδενικά που συνδέονται με την κατανομή των πρώτων αριθμών είναι όλα τοποθετημένα σε μια γραμμή τιμής 1/2 που ονομάζεται κρίσιμη γραμμή. Αυτή είναι η περίφημη υπόθεση Ρίμαν και θεωρείται σήμερα το σημαντικότερο ανοιχτό πρόβλημα σε όλα τα Μαθηματικά.

Αν αληθεύει, αυτό θα σήμαινε ότι η ποσότητα των πρώτων αριθμών αυξάνεται με έναν εξαιρετικά κανονικό τρόπο και κοντά σε εκείνη της συνάρτησης του Ολοκληρωμένου Λογαρίθμου, σαν το Χέρι του Δημιουργού που σχεδιάζει την καμπύλη των Πρώτων Αριθμών να είχε μια εξαιρετική ικανότητα και να μην έκανε λάθη ή μουτζούρες. Θα το πιστέψουμε!

Στη συνέχεια, τα σημαντικότερα έργα για τους πρώτους αριθμούς των David Hilbert, George Pólya, Godfrey Hardy, John Littlewood, Atle Selberg, Paul Erdős, Alan Turing, John von Neumann, Enrico Bombieri, Terence Tao και πολλών άλλων, περιστρέφονται σε μεγάλο βαθμό γύρω από την υπόθεση Riemann.

Πιο πρόσφατα, ξεχωρίζει το έργο των φυσικών Giuseppe Mussardo του SISSA (International School for Advanced Studies) στην Τεργέστη και Andrè LeClair του Πανεπιστημίου Cornell στην Ιθάκη (Νέα Υόρκη), που δημοσιεύθηκε στο Journal of Statistical Mechanics (JSTAT). Μετά από μια κολοσσιαία και εξαιρετικά εξελιγμένη υπολογιστική εργασία, οι Mussardo και LeClair συγκολλούν οριστικά τη σχέση μεταξύ της υπόθεσης Ρίμαν και της Κβαντικής Μηχανικής, αποδεικνύοντας ότι τα δεδομένα της αυστηρής εμπειρικής παρατήρησης καθιερώνουν την αντιστοιχία μεταξύ της συμπεριφοράς των πρώτων αριθμών και εκείνων της κίνησης Brownian των ατόμων αερίου που συγκρούονται αδιάκοπα μεταξύ τους, απομακρυνόμενοι με χρόνο ισχύος 1/2, συνδέεται ακριβώς με τη διάταξη των μη-τετριμμένων μηδενικών της συνάρτησης ζήτα Ρίμαν, υποθέτοντας ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής. Αυτή η σημαντική εργασία δίνει την οριστική επιβεβαίωση ότι η απόδειξη της Υπόθεσης Ρίμαν σημαίνει επίσης ότι η αντιστοιχία με την Κβαντική Φυσική ισχύει για όλους τους άπειρους Πρώτους Αριθμούς, κλείνοντας τον κύκλο της σχέσης μεταξύ των Ατόμων των Μαθηματικών και των Ατόμων της Φυσικής.

Αλλά δεν είναι δυνατόν να τα αποδείξουμε όλα αυτά χωρίς να κατανοήσουμε το μεγαλύτερο Μυστήριο σχετικά με τους Πρώτους Αριθμούς, δηλαδή την ακριβή φύση των χαοτικών διακυμάνσεών τους, τόσο παρόμοια με εκείνη των σωματιδίων ενός κβαντικού συστήματος. Και είναι ακριβώς αυτό το Μυστήριο που εκδηλώνεται από τον Ήχο.

Για να καταλάβουμε πώς, πρέπει να πάμε πίσω στην ανακάλυψη του Bernhard Riemann και της λειτουργίας του Zeta, η οποία όπως είδαμε αντιπροσωπεύει την πρώτη σύνδεση με την Prime Music.

Στην πραγματικότητα, η συνάρτηση Riemann Zeta βασίζεται στην αρμονική σειρά. Τι είναι η σειρά Harmonica;

Η σειρά φυσαρμόνικας είναι το απλούστερο και βασικότερο ακουστικό φαινόμενο. Ο πρώτος που μελέτησε σε βάθος αυτό το φαινόμενο ήταν ο Πυθαγόρας (Σάμος, μεταξύ 580 π.Χ. και 570 π.Χ. – Metaponto, περ. 495 π.Χ.), ο οποίος ανακάλυψε ότι δονούμενες χορδές διαφορετικού μήκους είχαν ως αποτέλεσμα ήχους διαφορετικών τόνων. Σύμφωνα με την Πυθαγόρεια Σχολή, η οποία χρονολογείται από τον τέταρτο αιώνα π.Χ., αυτές οι αριθμητικές αναλογίες που συνδέονται με τους ήχους ήταν στην προέλευση του ίδιου του Σύμπαντος και ρύθμιζαν την κίνηση των ουράνιων σωμάτων: ήταν η έννοια της Παγκόσμιας Αρμονίας.

Έτσι προέκυψε μια θεμελιώδης ιδιότητα των δονούμενων χορδών: όντας σταθερές στα δύο άκρα, οι δονήσεις που παράγουν μπορούν να είναι μόνο ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους δόνησης, διότι διαφορετικά το μήκος των δονήσεων δεν θα μπορούσε να συμπίπτει με την απόσταση των ακίδων στις οποίες είναι σταθερή η χορδή. Κάθε φορά που μια χορδή διεγείρεται, παράγει άπειρες δονήσεις που διαδίδονται μεταξύ των δύο άκρων: η ευρύτερη έχει μια συχνότητα που εξαρτάται από το συνολικό μήκος της χορδής. Στη συνέχεια, υπάρχουν πιο οξείες που ονομάζονται αρμονικά μέρη, τα οποία είναι άπειρα και έχουν διπλή, τριπλή, τετραπλή, πενταπλή συχνότητα και αντιστοιχούν σε όλα τα πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας. Η συχνότητα μετράται συνήθως σε Hertz, δηλαδή στον αριθμό των δονήσεων ανά δευτερόλεπτο. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των δονήσεων, τόσο μεγαλύτερος είναι ο τόνος της αντιληπτής μουσικής νότας. Μια υψηλότερη συχνότητα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη περίοδο δόνησης, η οποία στην περίπτωση των μερικών αρμονικών μιας δονούμενης χορδής, αντιστοιχεί σε ένα μισό, ένα τρίτο, ένα τέταρτο, ένα πέμπτο και στη συνέχεια ένα διαιρούμενο με όλους τους φυσικούς αριθμούς, μέχρι το άπειρο, σε σχέση με το μήκος της θεμελιώδους χορδής. Αυτή ακριβώς είναι η Αρμονική Σειρά, δηλαδή το σύνολο των περιόδων των αρμονικών συχνοτήτων μιας δονούμενης χορδής, οι οποίες αθροιζόμενες δίνουν μαζί το Αρμονικό Φάσμα της.

Το Αρμονικό Φάσμα, το σύνολο της θεμελιώδους συχνότητας και όλων των αρμονικών μερών της, ορίζει το ηχόχρωμα ενός ήχου. Επομένως, η αρμονική σειρά δεν σχετίζεται ειδικά με τη δόνηση χορδών, αν και η δόνηση χορδών είναι ο ευκολότερος τρόπος για να μελετηθεί στη φυσική της εκδήλωση. Η Αρμονική Σειρά είναι αυτή που χαρακτηρίζει και το ηχόχρωμα της ανθρώπινης φωνής, αλλά και όλα τα μουσικά όργανα σε συγκεκριμένο τόνο, δηλαδή αυτά που παράγουν καλά καθορισμένες μουσικές νότες, όπως τρομπέτα, βιολί ή πιάνο. Η αντίληψη ενός καθορισμένου βήματος εξαρτάται ακριβώς από το γεγονός ότι όλα τα μέρη ενός ήχου έχουν τις αναλογίες της αρμονικής σειράς μεταξύ τους, δηλαδή είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας. Το μαθηματικό άθροισμα των δονητικών περιόδων της Αρμονικής Σειράς, οι οποίες, όπως είδαμε, είναι όλο και μικρότερες καθώς αυξάνεται η συχνότητα, είναι μια άπειρη σειρά κλασμάτων των οποίων η τιμή αποκλίνει, δηλαδή είναι άπειρη. Αυτοί οι κλασματικοί όροι έχουν το 1 ως αριθμητή τους και όλους τους Φυσικούς Αριθμούς ως παρονομαστή. Οι περίοδοι δόνησης της Αρμονικής Σειράς είναι ίσες με το μήκος μιας χορδής διαιρούμενο με όλους τους Φυσικούς Αριθμούς, ενώ οι συχνότητές τους αντιπροσωπεύουν τη θεμελιώδη συχνότητα που σχετίζεται με το μήκος της χορδής, πολλαπλασιαζόμενη με όλους τους Φυσικούς Αριθμούς.

Η Αρμονική Σειρά είναι επομένως ο πραγματικός Ήχος των Φυσικών Αριθμών. Αλλά οι αριθμοί αντιπροσωπεύουν τις μαθηματικές σχέσεις του ήχου μιας δονούμενης χορδής ή είναι ο ήχος μιας δονούμενης χορδής που αντιπροσωπεύει τις αριθμητικές αναλογίες της αρμονικής σειράς;

Ο ήχος, από μόνος του, δεν υπάρχει έξω από τον εγκέφαλό μας. Δημιουργείται μέσω διαταραχών πυκνότητας και πίεσης που διαδίδονται στην ατμόσφαιρα από μια δονητική πηγή και οι οποίες, φτάνοντας στον κοχλία μέσω του αυτιού και του τυμπάνου, στη συνέχεια διεγείρουν τους νευρώνες του εγκεφάλου, οι οποίοι ανταποκρίνονται με ορισμένες νευρολογικές παρορμήσεις που ονομάζουμε "ήχο", των οποίων οι ιδιότητες καθορίζονται στην πραγματικότητα από τις συχνότητες, Δηλαδή, από τις αριθμητικές αναλογίες αυτών των δονήσεων. Έτσι, αν ο ήχος είναι ένα από τα μέσα με τα οποία αντιλαμβανόμαστε τις ποσότητες που αντιπροσωπεύουμε με αριθμούς, τότε ο Ήχος της Αρμονικής Σειράς είναι ο τρόπος μας να αντιλαμβανόμαστε τους Φυσικούς Αριθμούς ως Μουσική. Η συνάρτηση ζήτα Riemann βασίζεται στην αρμονική σειρά, όπως είπαμε, η οποία την επεκτείνει στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών ανυψώνοντας όλους τους όρους τους σε μιγαδικό εκθέτη. Οι μιγαδικοί αριθμοί γεννήθηκαν ως λύση στην τετραγωνική ρίζα των αρνητικών αριθμών και ο πρώτος που τους χρησιμοποίησε συστηματικά ήταν ο Ιταλός μαθηματικός Rafael Bombelli που έζησε τον δέκατο έκτο αιώνα. Οι λειτουργίες με πολύπλοκους εκθέτες σχετίζονται με τον ήχο και τη μουσική επειδή προκαλούν ταλαντευόμενα φαινόμενα που είναι τα ίδια με τα ηχητικά κύματα. Παράγουν καθαρά μαθηματικά ημιτονοειδή κύματα τα οποία, στην ακουστική φυσική, αντιπροσωπεύουν την απλούστερη ηχητική δόνηση που υπήρξε ποτέ, που αντιστοιχεί σε μια καθαρή συχνότητα χωρίς αρμονικές.

Στον φυσικό κόσμο, πριν από την άφιξη των ηλεκτρονικών συνθεσάιζερ, ο ήχος που έμοιαζε περισσότερο με ένα ημιτονοειδές κύμα ήταν αυτός του πιρουνιού συντονισμού. Σήμερα, με το ηλεκτρονικό μέσο είναι δυνατή η παραγωγή καθαρών ημιτονοειδών κυμάτων με πολύ απλό τρόπο. Η διάρκεια του κύκλου του ημιτονοειδούς κύματος είναι η περίοδος του, που αντιστοιχεί στη συχνότητα, δηλαδή στον τόνο της νότας. Η δόνηση μιας χορδής μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα άπειρων ημιτονοειδών κυμάτων, καθένα από τα οποία αντιπροσωπεύει μια αρμονική της αρμονικής σειράς της χορδής. Αυτό το άθροισμα των άπειρων ημιτονοειδών κυμάτων ονομάζεται σειρά Fourier, που πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό Joseph Fourier (Auxerre, 1768 - Paris, 1830), ο οποίος ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε ότι με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί οποιαδήποτε κυματομορφή ως άθροισμα ημιτονοειδών κυμάτων. Αυτή η αρχή εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σήμερα για την κωδικοποίηση μουσικής σε φυσικά και ψηφιακά μέσα, όπως CD και mp3. Αν υπάρχει ένας Ήχος των Φυσικών Αριθμών, υπάρχει επίσης ένας Ήχος των Πρώτων Αριθμών που γίνεται αντιληπτός ως πραγματικός ήχος και όχι ως ο φανταστικός ήχος του Bernhard Riemann;

Υπάρχει, και είναι ακριβώς ο Ήχος που παράγει τους Πρώτους Αριθμούς που αποκαλύπτει το μυστήριο του φαινομενικά άρρηκτου χάους τους, δείχνοντας πώς αυτό το χάος είναι το προϊόν της τελειότερης Συμπαντικής Αρμονίας, δηλαδή από την Αρμονία των Αρμονιών, που είναι η Αρμονική Σειρά Αρμονικών Σειρών. Αυτή η μυστηριώδης αρμονία που ο Bernhard Riemann είχε διαισθανθεί στις περίπλοκες σπείρες της Συνάρτησης Ζέτα και τα μηδενικά της στην κρίσιμη γραμμή 1/2 αποδεικνύεται πλήρως από τον Ήχο και από έναν Ήχο που ακούγεται ακόμη και στο ανθρώπινο αυτί! Ο συγγραφέας αυτού του άρθρου ασχολείται με ένα έργο που θα κάνει αυτόν τον ήχο να ακουστεί ως πραγματική μουσική. Εν τω μεταξύ, πρέπει να αρκεστούμε στο να το φανταστούμε! Πριν εμβαθύνουμε σε αυτό το Μυστήριο, ωστόσο, πρέπει να καταλάβουμε τι είναι ο Ήχος της Δημιουργίας και τι αντιπροσωπεύει για την Επιστήμη και για διαφορετικούς πολιτισμούς.

Για την επιστήμη, ο ήχος της δημιουργίας είναι ο ήχος του πρώιμου σύμπαντος, ο οποίος αντανακλάται στις διακυμάνσεις του υποβάθρου μικροκυμάτων, το οποίο είναι το παλαιότερο μέρος των φωτονίων φωτός που φτάνουν στα επίγεια αστρονομικά παρατηρητήρια. Η ακτινοβολία υποβάθρου αντανακλά την κατάσταση του Σύμπαντος που βρίσκεται πλησιέστερα στη Μεγάλη Έκρηξη, επομένως χρονολογείται από δισεκατομμύρια χρόνια και ακριβώς με βάση τις διακυμάνσεις της πυκνότητάς του είναι δυνατόν να ανακατασκευαστεί ένας χάρτης των πρώτων στιγμών του Σύμπαντος. Αυτές οι διακυμάνσεις πυκνότητας είναι συγκρίσιμες με τα ηχητικά κύματα με τις αρμονικές τους, μερικές από τις οποίες ονομάζονται στάσιμες, ακριβώς όπως εκείνες των δονούμενων χορδών. Με τη μόνη διαφορά ότι τα ηχητικά κύματα του ήχου του πρώιμου Σύμπαντος έχουν περιόδους εκατομμυρίων ετών φωτός!

Ο Ήχος της Δημιουργίας, από το Big Bang αντηχεί στη συνέχεια σε πολλές παραδόσεις και πολιτισμούς, ξεκινώντας με την αναπνοή του Shofar. Ορισμένες παραδόσεις το καθιστούν ακόμη και τον κεντρικό πυρήνα τους, και μεταξύ αυτών είναι οι βεδικές και βουδιστικές παραδόσεις, οι οποίες ταυτίζουν τον Ήχο της Δημιουργίας με την ΟΜ. Ακόμη και αν όλες οι θρησκευτικές παραδόσεις του κόσμου έχουν κοινές ρίζες, η καθεμία έχει επιλέξει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό στοιχείο και, δυστυχώς, σε πολλές περιπτώσεις, αυτή η προσκόλληση στις ιδιαιτερότητες έχει δημιουργήσει και εξακολουθεί να δημιουργεί πολλές συγκρούσεις. Ο καθένας παλεύει για να αναγνωριστεί η δική του ιδιαιτερότητα ως η «σωστή», χωρίς να καταλαβαίνει ότι είναι όλοι! Το μόνο σίγουρο είναι ότι ο αγώνας εμποδίζει όλους να φτάσουν στον πολυπόθητο στόχο, που είναι αυτός της Επιστροφής στην Προέλευση, δηλαδή στην πλήρη και τέλεια ένωση με το Θείο. Ωστόσο, για τις Βέδες και τους Βουδιστές αυτό το στοιχείο είναι ο Ήχος της ΟΜ.

Ερχόμαστε τώρα στην καρδιά του Μυστηρίου, δηλαδή να κατανοήσουμε τη δομή αυτού του Ήχου που περιέχει από μόνη της τη μαθηματική επίδειξη της Coincidentia Oppositorum. Η τελειότερη Ορθολογική Αρμονία της Αρμονικής Σειράς, ξεκινώντας μόνο από τον εαυτό της και σε μια παραγωγική διαδικασία με εξαιρετική μορφοκλασματική φύση, αναδεικνύει την πιο περίπλοκη και παράλογη πολυπλοκότητα: αυτή της Κατανομής των Πρώτων Αριθμών, οι οποίοι συμπεριφέρονται όπως οι χαοτικές κβαντικές κινήσεις των ατόμων. Πώς;

Για να κατανοήσουμε τη φύση της Αρμονικής Σειράς Αρμονικών Σειρών που παράγει Πρώτους Αριθμούς, πρέπει να κατανοήσουμε ένα από τα πιο ασυνήθιστα φυσικά φαινόμενα: αυτό της συμπαθητικής δόνησης, το φαινόμενο με το οποίο ένα ελαστικό σώμα μπορεί να δονείται ακόμη και αν δεν διεγείρεται άμεσα. Με άλλα λόγια: Συντονισμός. Ακόμη και πριν μέσω της ακουστικής φυσικής, είναι ένα φαινόμενο που βιώνουμε οι ίδιοι στη σχέση μας με τους άλλους, με αυτό που ονομάζεται Ενσυναίσθηση. Όλα όσα κάνουν ή λένε οι άλλοι αντηχούν μέσα μας και δονούν κάποιες χορδές της ψυχής μας. Αλλά αυτές οι δονήσεις σίγουρα δεν είναι μόνο ένα θεωρητικό γεγονός. Είναι φυσικές δονήσεις που εμπλέκουν τα κύτταρα και τους νευρώνες μας, ειδικά τους κατοπτρικούς νευρώνες, και είναι αυτές που μας συνδέουν με τους άλλους και τον κόσμο γύρω μας.

Ερχόμενοι τώρα στην Ακουστική Φυσική, η συμπαθητική δόνηση σημαίνει ότι ένα ενεργό συναρπαστικό σώμα προκαλεί κάποια παθητικά ηχητικά σώματα να συντονιστούν. Αυτό μπορεί να συμβεί με πιρούνια συντονισμού. Αλλά συμβαίνει και με σχοινιά. Ορισμένα όργανα, όπως το Sitar, έχουν ωραίες χορδές που δονούνται όταν μαδούνται οι κύριες χορδές. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι το Sitar, ένα από τα κύρια μουσικά όργανα της ινδουιστικής παράδοσης με επίκεντρο την ΟΜ, βασίζεται στην αρχή του συντονισμού των συμπαθητικών χορδών;

Αλλά τι σχέση έχουν οι συμπαθητικές δονήσεις με τους πρώτους αριθμούς;

Για να το καταλάβουμε αυτό, πρέπει να επιστρέψουμε στη σχέση μεταξύ της αρμονικής σειράς και της δονούμενης χορδής. Οι αριθμητικές αναλογίες της αρμονικής σειράς αντιστοιχούν στις περιόδους δόνησης των αρμονικών μιας χορδής. Ωστόσο, αν κοιτάξουμε τις συχνότητες, συνειδητοποιούμε ότι οι συχνότητες που μετρώνται σε Hertz (δονήσεις ανά δευτερόλεπτο) των μερικών αρμονικών μιας χορδής είναι όλα τα άπειρα ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητάς της. Η έννοια του πολλαπλασιασμού και του πολλαπλασιασμού είναι θεμελιώδης για τους πρώτους αριθμούς, επειδή οι πρώτοι αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια μόνο του εαυτού τους και του ενός. Αν θεωρήσουμε έναν φυσικό αριθμό ως τη θεμελιώδη συχνότητα μιας δονούμενης χορδής και τα πολλαπλάσια της ως τα άπειρα αρμονικά μέρη της, ολόκληρη η δομή των Φυσικών Αριθμών μας εμφανίζεται με ένα νέο και σαφέστερο φως και ταυτόχρονα μια πολυδιάστατη αρμονία άπειρης πολυπλοκότητας αναδύεται μέσα τους.

Αυτή η δομή αντιπροσωπεύεται σαφώς από το περίφημο Πυθαγόρειο Τραπέζι. Αν το εξετάσουμε από την άποψη των συμπαθητικών συντονισμών που συνδέονται με δονούμενες χορδές, έχουμε επομένως μια θεμελιώδη συμβολοσειρά, αποτελούμενη από συχνότητες στο Hertz των οποίων ο λόγος αντιστοιχεί σε όλους τους Φυσικούς Αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του ενός, τοποθετημένοι στην πρώτη σειρά και στην πρώτη στήλη του Πυθαγόρειου Πίνακα. Κάθε αρμονική αυτής της θεμελιώδους χορδής αντιστοιχεί σε έναν φυσικό αριθμό και με τη σειρά της αντηχεί με μια συμπαθητική χορδή που έχει αρμονικές με συχνότητες που αντιστοιχούν σε όλα τα πολλαπλάσια αυτού του φυσικού αριθμού: οι συμπαθητικές χορδές είναι οι σειρές και οι στήλες μέσα στο Πυθαγόρειο Τραπέζι.

Η πρώτη συμπαθητική χορδή θα αντιστοιχεί στον αριθμό 2 και θα έχει αρμονικές των οποίων οι συχνότητες αντιστοιχούν σε όλα τα πολλαπλάσια του 2, έτσι 4, 6, 8, 10 ... Η δεύτερη συμπαθητική χορδή θα αντιστοιχεί στον αριθμό 3, με αρμονικές που είναι πολλαπλάσια των 3: 6, 9, 12, 15 ... Στη συνέχεια, το τρίτο θα αντιστοιχεί στα πολλαπλάσια των 4 που είναι 8, 12, 16, 20 ... το τέταρτο σε πολλαπλάσια του 5 και ούτω καθεξής μέχρι το άπειρο. Επομένως, μιλάμε για άπειρες συμπαθητικές χορδές που διεγείρονται από μια θεμελιώδη χορδή, οι οποίες αντηχούν σε αρμονία με αυτήν, καθεμία από τις οποίες αντιστοιχεί σε καθεμία από τις άπειρες αρμονικές της θεμελιώδους χορδής. Κάθε μία από τις αρμονικές της θεμελιώδους χορδής αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη της αντίστοιχης συμπαθητικής χορδής. Είναι μια φράκταλ δομή, επειδή στην πραγματικότητα κάθε μία από τις αρμονικές σειρές συμπαθητικών χορδών περιέχεται με τη σειρά της στη θεμελιώδη αρμονική σειρά. Στη συνέχεια ανακαλύπτουμε ότι η Αρμονική Σειρά αποτελείται από άπειρα αντίγραφα του εαυτού της, το καθένα χτισμένο από κάθε μία από τις αρμονικές του. Εάν η δόνηση μιας χορδής μπορεί να θεωρηθεί ο ήχος που αντιπροσωπεύει τους φυσικούς αριθμούς, ο ήχος που παράγεται από τη δόνηση άπειρων συμπαθητικών χορδών που διεγείρονται από μια θεμελιώδη δονούμενη χορδή, μπορεί να θεωρηθεί ο ήχος του Πυθαγόρειου Τραπεζιού. Το Πυθαγόρειο Τραπέζι είναι ένα τετράγωνο και, αν λάβουμε υπόψη το σύνολο των περιόδων των δονήσεων της θεμελιώδους χορδής και των άπειρων συμπαθητικών χορδών, αυτό είναι το αμοιβαίο του Πυθαγόρειου Πίνακα και αντιστοιχεί στο Ένα διαιρούμενο με όλους τους όρους του Πυθαγόρειου Πίνακα. Αυτό που παίρνουμε είναι η Αρμονική Σειρά στο τετράγωνο, δηλαδή το Τετράγωνο της Αρμονικής Σειράς. Το τετράγωνο της αρμονικής σειράς καθορίζει τότε την ακριβή θέση των άπειρων πρώτων αριθμών.

Δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι ο ΟΜ, ο Θεμελιώδης Ήχος του Σύμπαντος που προέρχεται από τον Ήχο της Δημιουργίας, βασίζεται στην Αρμονική Σειρά, και τι καλύτερη αναπαράσταση αυτού του Ήχου από την Αρμονική Σειρά Αρμονικών Σειρών, από το φάσμα συχνοτήτων της οποίας οι Πρώτοι Αριθμοί αναδύονται ως ένα από τα πιο σύνθετα φαινόμενα των Μαθηματικών και της Φύσης;

Για να μάθουμε τι συμβαίνει στην αλληλεπίδραση αυτής της άπειρης σειράς αρμονικών δονήσεων και συμπαθητικών συντονισμών που παράγονται από την ΟΜ, πρέπει επομένως να εισαγάγουμε την έννοια του φασματογράμματος. Όπως είδαμε, ο εγκέφαλός μας, χρησιμοποιώντας το τύμπανο και τον κοχλία, μεταφράζει τις δονήσεις και τις ποσοτικές αναλογίες τους σε ήχο. Αντ 'αυτού, το φασματογράφημα μεταφράζει αυτές τις ποσοτικές αναφορές σε εικόνες. Η δομή ενός ήχου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά με δύο τρόπους: στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνότητας. Αυτό που αντιπροσωπεύει έναν ήχο στο πεδίο του χρόνου ονομάζεται παλμογράφος. Ο παλμογράφος μας δείχνει πώς μεταβάλλεται το πλάτος μιας δόνησης με την πάροδο του χρόνου, δηλαδή τις ταλαντώσεις της: στη συνέχεια σχεδιάζει μια καμπύλη που περιγράφει την κυματομορφή ενός δεδομένου ήχου. Ο οριζόντιος άξονας του άξονα x αντιπροσωπεύει το χρόνο και ο κατακόρυφος άξονας των συντεταγμένων αντιπροσωπεύει το πλάτος. Η κυματομορφή ενός ήχου ορίζεται από τη σειρά Fourier, δηλαδή από ένα άθροισμα άπειρων ημιτονοειδών κυμάτων, τα βασικά συστατικά του ήχου. Αυτό που βλέπουμε στο σχήμα είναι η κυματομορφή του OM, ο ήχος του Πυθαγόρειου Πίνακα που αντιστοιχεί σε άπειρες δονούμενες χορδές, που αντιπροσωπεύονται όπως σε έναν παλμογράφο: αυτή η κυματομορφή παράγεται από μια πολύ ακριβή σειρά Fourier.

Το φασματογράφημα, από την άλλη πλευρά, αντιπροσωπεύει το πλάτος των συχνοτήτων ενός δεδομένου ήχου, δηλαδή το αρμονικό φάσμα του. Είναι σαν ο ήχος να διασπάται στα βασικά συστατικά του, όπως συμβαίνει με το φως σε ένα πρίσμα ή όταν βλέπουμε το ουράνιο τόξο. Τα βασικά συστατικά είναι τα ημιτονοειδή κύματα που συνθέτουν τη σειρά Fourier του συγκεκριμένου ήχου. Στο φασματογράφημα, ο οριζόντιος άξονας του άξονα x είναι επομένως η συχνότητα και ο κατακόρυφος άξονας των συντεταγμένων είναι το πλάτος. Για κάθε συχνότητα, το φασματογράφημα μας δείχνει πόσο ευρεία είναι η παρουσία του σε έναν ήχο, δηλαδή πόσο ευρύ είναι το ημιτονοειδές κύμα που αντιστοιχεί σε αυτή τη συχνότητα (σαφώς, εάν η συχνότητα δεν υπάρχει, το πλάτος του θα είναι μηδέν). Εάν χρησιμοποιούμε επίσης χρώμα, μπορούμε να αναπαραστήσουμε έναν ήχο ως μια πολύχρωμη εικόνα στην οποία τα ελαφρύτερα χρώματα αντιπροσωπεύουν τις συχνότητες με μεγαλύτερο πλάτος. Σε αυτήν την περίπτωση, ο άξονας y αντιπροσωπεύει συχνότητες και ο άξονας x αντιπροσωπεύει το χρόνο. Μπορούμε έτσι να αναπαραστήσουμε την εξέλιξη με την πάροδο του χρόνου ενός υγιούς φάσματος.

Στο σχήμα βλέπουμε την αναπαράσταση της κατανομής των πλάτους στο φάσμα του ΟΜ, δηλαδή στο φασματογράφημά του, στην περιοχή συχνοτήτων μεταξύ 4 000 000 Hz και 4 001 500 Hz (πολύ πέρα από τις συχνότητες που ακούγονται στο ανθρώπινο αυτί!). Τα υψηλότερα σημεία στον κατακόρυφο άξονα των συντεταγμένων είναι οι συχνότητες που συντονίζονται περισσότερο στην κυματομορφή που αντιπροσωπεύεται στο προηγούμενο σχήμα, εκείνες που αντιστοιχούν στους σύνθετους αριθμούς. Τα σημεία στο επίπεδο της θάλασσας, από την άλλη πλευρά (αυτά στην οριζόντια γραμμή στο κάτω μέρος), είναι αντίθετα οι συχνότητες που αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς, οι οποίοι είναι όλοι ακριβώς το ίδιο πλάτος, το ελάχιστο πλάτος που υπάρχει στο φάσμα. Οι τύποι που παράγουν αυτή την κυματομορφή και αυτή η κατανομή πλάτους είναι πολύ απλοί. Η πιο περίπλοκη πολυπλοκότητα συχνά κρύβει πολύ απλές αρχές παραγωγής: είναι το περίφημο φαινόμενο πεταλούδας που αναφέρεται από τον Edward N. Lorenz (West Hartford, 1917 - Cambridge, 2008). Ακριβώς όπως οι αστρονόμοι, μέσω μιας γραφικής αναπαράστασης των μεταβολών στην πυκνότητα της ακτινοβολίας υποβάθρου του Σύμπαντος μπορούν να ανακατασκευάσουν το χάρτη του Πρώιμου Σύμπαντος, μπορούμε να ανακατασκευάσουμε τον Χάρτη των Φυσικών Αριθμών μέσω μιας γραφικής αναπαράστασης των διαφορετικών πλάτους των συχνοτήτων της ΟΜ που παράγονται από άπειρες συμπαθητικές χορδές που δονούνται σε αρμονία με μια ενιαία θεμελιώδη συμβολοσειρά. Αν το κάναμε, θα καταλήγαμε σε μια εικόνα που είναι εντυπωσιακά παρόμοια με εκείνη του χάρτη ακτινοβολίας υποβάθρου. Αυτό που θα βρίσκαμε σε αυτό, που αντιπροσωπεύεται από άπειρες σκοτεινές και τέλεια καθορισμένες κηλίδες (που αντιστοιχούν στα σημεία στο ελάχιστο επίπεδο στο φασματογράφημα), είναι ακριβώς η ακριβής θέση όλων των άπειρων πρώτων αριθμών μεταξύ των φυσικών αριθμών. Η απόδειξη είναι απλό να εξηγηθεί. Οι συχνότητες που είναι κοινές στις διάφορες χορδές, αυτές που είναι πολλαπλάσια περισσότερων από μία θεμελιωδών, ενισχύουν η μία την άλλη και εμφανίζονται στο φασματογράφημα ως ελαφρύτερες κηλίδες (στο φασματογράφημα, ως σημεία σε υψηλότερες θέσεις). Είναι η αρχή της συμπαθητικής αντήχησης για την οποία μιλήσαμε νωρίτερα. Οι συχνότητες που αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς, από την άλλη πλευρά, παραμένουν του ίδιου πλάτους, επειδή ανήκουν μόνο στη θεμελιώδη χορδή και ξεχωρίζουν ως πιο σκοτεινά σημεία (είναι τα σημεία στη χαμηλότερη θέση στο φασματογράφημα). Αυτές οι κοιλότητες του αρμονικού φάσματος είναι διατεταγμένες με έναν φαινομενικά χαοτικό τρόπο και στερούνται οποιασδήποτε αρχής παραγωγής. Όποιος κοιτάζει αυτόν τον χάρτη χωρίς να ξέρει τι είναι, μπορεί να σκεφτεί ότι πίσω από όλα αυτά δεν υπάρχει τίποτα άλλο παρά καθαρό χάος ή μια αρχή εντελώς άγνωστη από το ανθρώπινο μυαλό, όπως πίστευε ο Leonhard Euler τον δέκατο όγδοο αιώνα. Αλλά μόλις βρείτε το Κλειδί, ανακαλύπτετε ότι αυτή η χαοτική κίνηση είναι το αποτέλεσμα της Τέλειας Συμπαντικής Αρμονίας άπειρων δονούμενων χορδών σε αρμονία με μια θεμελιώδη δονούμενη χορδή, όλα ακριβώς συντονισμένα με τις αρμονικές αυτής της χορδής.

Στη συνέχεια ανακαλύπτουμε ότι πίσω από το χάος των πρώτων αριθμών υπάρχουν πολλά περισσότερα από το πέταγμα ενός νομίσματος! Και πίσω από το κβαντικό χάος των Ατόμων, πολύ παρόμοιο με αυτό των Πρώτων Αριθμών;

Αυτή είναι η Αρμονία που ο Ρίμαν άρχισε να βλέπει πέρα από τους πρώτους αριθμούς πριν από περισσότερα από 160 χρόνια! Μήπως αυτό σημαίνει ότι η περίφημη υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής, δηλαδή ότι όλα τα μηδενικά της συνάρτησης Ζήτα είναι διατεταγμένα ακριβώς στην κρίσιμη γραμμή 1/2; Είναι αυτή η απόδειξη του μεγαλύτερου ανοιχτού προβλήματος στα μαθηματικά;

Θα το μάθουμε σύντομα. Προς το παρόν, ας εξετάσουμε πόσο εκπληκτικό είναι ότι ο Χάρτης του Αρχέγονου Σύμπαντος και ο Χάρτης των Φυσικών Αριθμών που παράγονται από το αρμονικό φάσμα του Ήχου της ΟΜ, του Ήχου της Δημιουργίας που καθορίζει τη θέση όλων των Πρώτων Αριθμών, είναι τόσο παρόμοια.

Αλλά υπάρχει κάτι ακόμα πιο εξαιρετικό. Ας επιστρέψουμε στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, το οποίο μας λέει ότι κάθε Φυσικός Αριθμός αποτελείται από έναν και μόνο ένα συνδυασμό Πρώτων Αριθμών, ακριβώς όπως κάθε μόριο αποτελείται από ένα και μόνο ένα συνδυασμό Ατόμων. Ένας δεν θεωρείται πρώτος αριθμός. Επειδή? Ακριβώς επειδή το Ένα διαιρεί κάθε Φυσικό Αριθμό και επομένως είναι το Πανταχού Παρόν.

Το Ένα αντιπροσωπεύει την Ολότητα και ως ολότητα δεν μπορεί να είναι μέρος των δικών του συνιστωσών.

Ας εξετάσουμε τώρα πώς οι πρώτοι αριθμοί συντίθενται για να δημιουργήσουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή το Ένα, ακριβώς όπως τα άτομα συντίθενται για να δημιουργήσουν την ολότητα του σύμπαντος στο οποίο ζούμε. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό ξεκινώντας από την πρώτη συμπαθητική χορδή με θεμελιώδη 2. Προς το παρόν, δεν εξετάζουμε το εύρος των διαφορετικών συχνοτήτων, αλλά μόνο την παρουσία ή την απουσία τους στο φάσμα. Βλέπουμε λοιπόν ότι, από μόνη της, αυτή η χορδή έχει άπειρες τρύπες που αντιστοιχούν στις περιττές συχνότητες. Αν προσθέσουμε τη συμπαθητική συμβολοσειρά που αποτελείται από όλα τα πολλαπλάσια του επόμενου πρώτου αριθμού που είναι 3, βλέπουμε ότι γεμίζει μερικές από αυτές τις τρύπες, αλλά όχι όλες.

Η προσθήκη της συμβολοσειράς με θεμελιώδη 4 (πολλαπλάσια του 4), δεν αλλάζει τίποτα, επειδή όλα τα πολλαπλάσια του 4 είναι επίσης πολλαπλάσια του 2. Μόνο η συμβολοσειρά που έχει συχνότητες που αντιστοιχούν σε πολλαπλάσια του 5, που είναι πρώτος αριθμός, αλλάζει περαιτέρω το αρμονικό φάσμα, προσθέτοντας μερικά κομμάτια που λείπουν, αλλά όχι όλα! Μπορούμε να το μαντέψουμε: μόνο προσθέτοντας όλους τους Πρώτους Αριθμούς και τις αρμονικές τους, μπορούμε να ανακατασκευάσουμε το σύνολο των Φυσικών Αριθμών, δηλαδή όλες τις συχνότητες που ανήκουν στη Θεμελιώδη Χορδή που έχει συχνότητα Ένα.

Αυτό είναι το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, και σε αυτό βρίσκεται το κλειδί για να αποδείξει την υπόθεση Riemann, το πιο σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα σε όλα τα Μαθηματικά: θα μιλήσουμε γι 'αυτό στο δεύτερο μέρος του άρθρου. Κάθε πρώτος αριθμός, με τις άπειρες αρμονικές του, τροποποιεί ελαφρώς το αρμονικό φάσμα της ΟΜ και αυτή η τροποποίηση συνεχίζεται για πάντα, επηρεάζοντας αυτό που συμβαίνει μετά από δισεκατομμύρια και δισεκατομμύρια αρμονικές. Αλλά μόνο όλοι μαζί, οι Πρώτοι Αριθμοί και οι αρμονικές τους μπορούν να συμπέσουν με το Ένα, την Ολότητα, συμπληρώνοντας όλα τα κομμάτια του παζλ. Κατά κάποιον τρόπο, αυτό ισχύει και για εμάς. Ο καθένας μας κάνει μια συνεισφορά, όσο μικρή κι αν είναι, όσο θεμελιώδης και απαραίτητη κι αν είναι για το Σύμπαν και αυτή η συνεισφορά, σαν να ήταν η άπειρη σειρά των αρμονικών μας, θα παραμείνει για πάντα, προσθέτοντας κάτι μόνιμο στη Δημιουργία. Ακόμα κι αν δεν είμαστε πλέον παρόντες στην τωρινή μας μορφή, οι αρμονικοί συντονισμοί του καθενός μας θα έχουν φυτέψει σπόρους που θα έχουν βλαστήσει ίσως ποιος ξέρει πού και με εκπληκτικούς τρόπους, ακριβώς όπως οι αρμονικές κάθε Πρώτου Αριθμού δημιουργούν πολύπλοκες και απροσδόκητες διαμορφώσεις που αναδύονται σε συχνότητες δισεκατομμύρια και δισεκατομμύρια φορές υψηλότερες, μέχρι το άπειρο. Αλλά μόνο όλοι μαζί, μπορούμε να συμπίπτουμε με το Όλον, με Εκείνον που είναι ο Δημιουργός και που περιλαμβάνει τα πάντα και τους πάντες, να γίνουμε οι ίδιοι Συνδημιουργοί του Έργου της Τέχνης της Ύπαρξης. Αναλύοντας τον τρόπο με τον οποίο οι πρώτοι αριθμοί συντίθενται ώστε να συμπίπτουν με το σύνολο των φυσικών αριθμών, συνειδητοποιούμε ότι όλες οι αρμονικές σειρές των συμπαθητικών δονούμενων χορδών περιέχονται στην αρμονική σειρά της θεμελιώδους χορδής, η οποία επομένως αποτελείται από άπειρα αντίγραφα του εαυτού της. Αυτή η δομή που παράγει τους πρώτους αριθμούς είναι επομένως αυτό που ονομάζεται Fractal, στο οποίο κάθε συστατικό περιέχει από μόνο του τη δομή του συνόλου. Είναι η αρχή που ορίζει τα ολογράμματα: η ολογραφική προβολή της αρμονικής σειράς δημιουργεί ένα πρίσμα άπειρων διαθλασμάτων που καθορίζουν την ακριβή θέση των πρώτων αριθμών, των οποίων η χαοτική κατανομή θεωρούνταν μέχρι τώρα ένα αδιαπέραστο μυστήριο.

Ας επιστρέψουμε με το νου μας στον Ήχο της Μεγάλης Έκρηξης και στη θαυμαστή αντιστοιχία που υπάρχει μεταξύ του Ήχου της Δημιουργίας, του ΟΜ, του φράκταλ της Αρμονικής Σειράς της Αρμονικής Σειράς, της δόνησης των χορδών, του συμπαθητικού συντονισμού, της δομής του Αρχέγονου Σύμπαντος, των κβαντικών κινήσεων των Ατόμων και της κατανομής των Πρώτων Αριθμών, των Ατόμων των Μαθηματικών. Δεν μπορούμε παρά να εκπλαγούμε από το θαύμα της Τέλειας Συμπαντικής Αρμονίας της Δημιουργίας, η οποία με την έκρηξη των άπειρων Συντονισμών δημιουργεί την πολυπλοκότητα του Αρχέγονου Σύμπαντος και μαζί της την κβαντική χαοτική κίνηση που κινεί τόσο τα άτομα της ύλης όσο και τα Άτομα των Μαθηματικών, δηλαδή τους Πρώτους Αριθμούς. Γνωρίζουμε ότι η Θεωρία της Γενικής Σχετικότητας, η οποία αντιπροσωπεύει το μακροσκοπικά μεγάλο, και η Κβαντική Φυσική, η οποία αντιπροσωπεύει το μικροσκοπικά μικρό, δεν μπορούν να βρουν κοινό έδαφος σήμερα. Αυτό που μόλις αποδείχθηκε φαίνεται να τους ενώνει τέλεια! Η πιο τέλεια ορθολογική αρμονία και η πιο περίπλοκη παράλογη πολυπλοκότητα συμπίπτουν στον ήχο της ΟΜ και η πολυπλοκότητα του μικροσκοπικού περιλαμβάνει από μόνη της την πολυπλοκότητα του μακροσκοπικού.

Αυτή δεν είναι μόνο η μαθηματική επίδειξη της Coincidentia Oppositorum, της Ένωσης των Αντιθέτων του Αλχημικού Rebis, αλλά και της κατεξοχήν Εσωτερικής Αρχής: Όπως πάνω έτσι και κάτω, χαραγμένη στη σμαραγδένια πινακίδα, η οποία λέγεται ότι βρέθηκε στην Αίγυπτο πριν από τη χριστιανική εποχή, έργο του θρυλικού Ερμή του Τρισμέγιστου, τον οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ταύτιζαν με τον θεό Τοθ, θεός της Σελήνης, σοφία και μαθηματικά. Μια σύνθετη αρμονία που μας βλέπει πλέον ως πρωταγωνιστές, για να ολοκληρώσουμε το έργο που ξεκίνησε και δεν ολοκληρώθηκε. Μόλις μάθετε το κλειδί για ένα φαινόμενο που προηγουμένως ήταν πολύ περίπλοκο για να γίνει κατανοητό, μπορείτε όχι μόνο να το αναπαράγετε, αλλά και να το τροποποιήσετε, αλλάζοντας τις μεταβλητές του τύπου που το παράγει, με εξαιρετικά και ανεξάντλητα αποτελέσματα. Τώρα αυτή η Γνώση μας έχει δοθεί. Ας το αξιοποιήσουμε σωστά! Ξεκινήσαμε μιλώντας για τους πρώτους αριθμούς και ανακαλύψαμε ότι είναι οι πρώτοι αριθμοί που μιλούν για εμάς. Στην πραγματικότητα, κι εμείς, στις εξαιρετικές και πολύπλοκες αλληλεπιδράσεις μας, είμαστε σαν άπειρες Συμπαθητικές Χορδές που αντηχούν με μια ενιαία Θεμελιώδη Χορδή, που έχει μαδηθεί από τον Δημιουργό. Αλλά ταυτόχρονα, ως άτομα, είμαστε σαν τους πρώτους αριθμούς που δημιουργούνται από αυτό: άπειρα πετράδια που βρίσκονται στις αρμονικές δονήσεις του Σύμπαντος, το καθένα μοναδικό, πολύτιμο και αναντικατάστατο!

Ο χαμένος κρίκος

Σε αυτό το άρθρο, δείξαμε πώς το παράλογο Χάος των Πρώτων Αριθμών παράγεται από την πιο τέλεια Ορθολογική Αρμονία, η οποία συμπίπτει με τον Πυθαγόρειο Πίνακα και το αντίστοιχό του που είναι το Τετράγωνο της Αρμονικής Σειράς, το οποίο εκδηλώνεται στο Φυσικό επίπεδο στον Ήχο της ΟΜ, που παράγεται από τη δόνηση άπειρων Συμπαθητικών Χορδών σε αρμονία με μια Θεμελιώδη Χορδή. Αυτή η επίδειξη αποδεικνύει μαθηματικά την ταυτότητα μεταξύ του ορθολογικού νου και του παράλογου νου, που είναι δύο όψεις της ίδιας Αρχής της Δημιουργίας, που είναι το Ένα. Στην Ανατολική Πνευματικότητα, αυτή η Αρχή της Δημιουργίας εκφράζεται στον ήχο της ΟΜ. Στη Δυτική Πνευματικότητα, αυτή η Αρχή της Δημιουργίας εκφράζεται στην Αρχή της Γένεσης, που συμβολικά αντιπροσωπεύεται από τη Γη και τον Ουρανό.

Αυτή η επίδειξη, επομένως, αποδεικνύει επίσης μαθηματικά την Ενότητα μεταξύ Ανατολικής και Δυτικής Πνευματικότητας, μεταξύ των δύο Ημισφαιρίων του Κόσμου καθώς και μεταξύ των δύο Ημισφαιρίων του Εγκεφάλου.

Αλλά αν στο επίπεδο των Μαθηματικών, δηλαδή του Ουρανού, μπορεί να δοθεί μια τέτοια επίδειξη, μπορεί επίσης να είναι στο επίπεδο της Γης, δηλαδή του Φυσικού Κόσμου; Μπορεί ο Ουρανός να είναι ένα μέρος στη Γη, όπως δηλώνει το διάσημο τραγούδι της Belinda Carlisle; Είναι τα Άτομα των Μαθηματικών, που παράγονται από μια Τέλεια Παγκόσμια Αρμονία, πραγματικά ίσα με τα Άτομα της Φυσικής; Μπορούμε να αισθανθούμε ότι αυτό συμβαίνει, αλλά για να το αποδείξουμε μαθηματικά, υπάρχει μόνο ένας χαμένος κρίκος: να αποδείξουμε την υπόθεση Ρίμαν.

Το έργο των Mussardo και LeClair μας λέει ότι, με αυστηρή εμπειρική παρατήρηση, τα άτομα των μαθηματικών συμπεριφέρονται ακριβώς όπως τα άτομα της φυσικής και αυτό φαίνεται να υπονοεί την υπόθεση Riemann.

Αλλά δεν αρκεί να το αποδείξουμε. Χωρίς να αποδείξουμε την υπόθεση Ρίμαν, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι όλοι οι άπειροι πρώτοι αριθμοί συμπεριφέρονται ακριβώς όπως τα άτομα, και χωρίς να αποδείξουμε ότι όλοι οι πρώτοι αριθμοί συμπεριφέρονται όπως τα άτομα, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ίδια συμπαντική αρμονία που καθορίζει την κίνηση των πρώτων αριθμών καθορίζει επίσης την κίνηση των ατόμων. Βρισκόμαστε στο κατώφλι μιας από τις πιο ανατρεπτικές ανακαλύψεις τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φυσική, και είναι καθήκον μας να περάσουμε αυτό το κατώφλι: είμαστε έτοιμοι να το κάνουμε. Πιστεύω ότι έχουμε το κλειδί αυτής της επίδειξης και, ως εκ τούτου, θεωρώ καθήκον μου να ανοίξω διάλογο με την επιστημονική κοινότητα. Ως εκ τούτου, θα περιγράψω εν συντομία ποιο είναι, κατά τη γνώμη μου, το κλειδί για την απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν, με την ελπίδα να προκαλέσω το ενδιαφέρον της επιστημονικής κοινότητας να ανοίξει αυτόν τον διάλογο, μοιράζοντας έτσι τις πιο τεχνικές εργασίες που έχω κάνει, συμπεριλαμβανομένης μιας μελέτης που σχετίζεται με την απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν. Αυτή η εργασία (η οποία είναι κάτι διαφορετικό από αυτό που έχω εκθέσει προηγουμένως) εξετάζεται επί του παρόντος από το έγκριτο περιοδικό Annals of Mathematics του Ινστιτούτου Προηγμένων Σπουδών στο Πρίνστον. Γνωρίζω πολύ καλά ότι μια τυπικά άψογη επίδειξη του σημαντικότερου ανοιχτού προβλήματος στα Μαθηματικά, από έναν μουσικό χωρίς ακαδημαϊκή κατάρτιση στον μαθηματικό τομέα, είναι κάτι εξαιρετικά δύσκολο τόσο για εκείνους που πρέπει να το προτείνουν όσο και για εκείνους που πρέπει να το αποδεχτούν. Ωστόσο, είμαι πεπεισμένος ότι η κατεύθυνση που ακολουθείται είναι η σωστή και ότι αυτός ο Διάλογος, που ξεκίνησε επίσης μέσω αυτού του Blog και ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα αυτού του πρώτου βήματος, θα οδηγήσει στη Λύση πολύ σύντομα, με εξαιρετικά θετικές συνέπειες για όλους και για όλους. Είμαι πολύ ευγνώμων για αυτό στον αγαπητό καθηγητή. Di Bernardo, ο οποίος κατέστησε έτσι δυνατή την κατασκευή αυτής της γέφυρας. Αλλά τώρα ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε αυτό το κλειδί, προσπαθώντας να το συνδέσουμε με αυτό που έχουμε εκθέσει προηγουμένως. Η έκθεση θα αναφέρεται τώρα σε μερικές γνωστές και αποδεδειγμένες μαθηματικές έννοιες. Ο άπειρος αναγνώστης μπορεί να τις αναγνωρίσει ως αληθινές ακόμη και χωρίς να τις κατανοήσει πλήρως: η λογική συνοχή της επίδειξης παραμένει κατανοητή, καθώς και ο ιδιαίτερος τρόπος σύνδεσης αυτών των εννοιών μεταξύ τους. Είναι ακριβώς αυτή η σύνδεση που αντιπροσωπεύει μια πιθανή καινοτομία που δεν έχει ακόμη αναγνωριστεί για την επιστημονική κοινότητα. Ως εκ τούτου, απευθύνομαι επίσης σε κάθε ειδικό αναγνώστη με αυτή τη σύντομη έκθεση και θα χαρώ να μοιραστώ περισσότερες λεπτομέρειες σε περίπτωση ενδιαφέροντος. Ας πάμε λοιπόν πίσω για να εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο οι Πρώτοι Αριθμοί, με τα πολλαπλάσια τους, ενώνονται για να συμπέσουν με το Ένα, την Ολότητα, η οποία είναι η Θεμελιώδης Δονούμενη Χορδή από την οποία παράγονται τα πάντα. Έχουμε ήδη περιγράψει αυτή τη διαδικασία πριν, μιλώντας για το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Αν εξετάσουμε το χώρο που καταλαμβάνουν στο σύνολο του φάσματος, δηλαδή το Ένα, οι πρώτοι αριθμοί με τα πολλαπλάσια τους, δηλαδή τις «αρμονικές» τους, μπορούμε να δείξουμε ότι η διαφορά μεταξύ αυτού του χώρου και του αντίστροφου του Φυσικού Λογαρίθμου μειώνεται στο μηδέν. Κατά τη γνώμη μου, αυτό συνεπάγεται το βάσιμο της υπόθεσης Riemann. Ας ξεκινήσουμε με τη συμπαθητική συμβολοσειρά που αντιστοιχεί στον πρώτο πρώτο πρώτο αριθμό, δηλαδή το 2, του οποίου οι αρμονικές είναι όλες πολλαπλάσια του 2 (δηλαδή ζυγοί αριθμοί). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο χώρος που καταλαμβάνει αυτή η συμβολοσειρά στο σύνολο του φάσματος που αντιστοιχεί στο 1 είναι ακριβώς το μισό. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί αφαιρώντας το 1/2 από το 1:

Η επόμενη «τρύπα» στο φάσμα θα αντιστοιχεί στον επόμενο Πρώτο Αριθμό, δηλαδή 3. Τα πολλαπλάσια του 3 θα καταλαμβάνουν ένα διάστημα που αντιστοιχεί στο 1/3 του συνόλου των Φυσικών Αριθμών, αλλά εξαιρουμένων όλων των πολλαπλάσιων του 2 που έχουμε αφαιρέσει νωρίτερα. Μπορούμε να το εκπροσωπήσουμε αυτό με

Με αυτόν τον τρόπο, η προηγούμενη ποσότητα αποκλείεται από το χώρο που καταλαμβάνουν τα πολλαπλάσια/αρμονικές του 3.

Είναι προφανές ότι όλες οι αρμονικές της συμπαθητικής χορδής με το θεμελιώδες 4, που αντιστοιχεί στα πολλαπλάσια του 4, καταλαμβάνονται ήδη από τα πολλαπλάσια του 2 και δεν θα καταλαμβάνουν περαιτέρω χώρο. Η επόμενη αλλαγή στο φάσμα θα συμβεί μόνο με τον επόμενο Πρώτο Αριθμό που είναι 5 και ο συνολικός χώρος που καταλαμβάνουν τα πολλαπλάσια του θα είναι:

επειδή πρέπει να αποκλείσουμε τους προηγούμενους πρώτους αριθμούς με τα πολλαπλάσια τους.

Αν επεκτείνουμε αυτή τη διαδικασία στο σύνολο των πρώτων αριθμών, λαμβάνουμε το ακόλουθο άπειρο γινόμενο:

όπου p αντιπροσωπεύει τον νιοστό πρώτο αριθμό. Καθώς αυξάνεται το p, αυτό το γινόμενο αντιστοιχεί στην πυκνότητα των πρώτων αριθμών σε σχέση με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Αλλά αυτό το προϊόν δεν είναι τίποτα περισσότερο από το αμοιβαίο του διάσημου προϊόντος Euler, ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα των Μαθηματικών.

Το αντίστροφο του προϊόντος Euler συμπίπτει με το αντίστροφο της συνάρτησης ζήτα Riemann στον εκθέτη 1, το οποίο με τη σειρά του συμπίπτει με το άπειρο όριο του αντίστροφου του φυσικού λογαρίθμου συν μια μικρή σταθερά που ονομάζεται σταθερά του Euler Mascheroni, της οποίας η τιμή είναι περίπου 0,57721. Αυτό που είπαμε ισχύει συνολικά, δηλαδή λαμβάνοντας υπόψη όλους τους άπειρους όρους του αμοιβαίου του προϊόντος Euler σε σχέση με τους άπειρους πρώτους αριθμούς. Ωστόσο, παραμένει να συνδεθεί η ανάπτυξη του προϊόντος Euler με τον φυσικό λογάριθμο με την ανάπτυξη της ανεξάρτητης μεταβλητής τους. Παραδόξως, το Τρίτο Θεώρημα του Merthens μας επιτρέπει να δείξουμε ότι η ανάπτυξη του Προϊόντος του Όιλερ συμπίπτει απόλυτα με εκείνη του Φυσικού Λογαρίθμου. Για να τοποθετήσετε τις δύο λειτουργίες "σε φάση", αρκεί να πολλαπλασιάσετε το προϊόν Euler με και-ϒ, όπου e είναι ο αριθμός του Euler (μια σταθερά παρούσα παντού στη φύση, επειδή είναι εγγενής στις διαδικασίες της οργανικής ανάπτυξης) και Υ είναι η σταθερά του Euler Mascheroni, η οποία εμφανίζεται παντού στη θεωρία αριθμών επειδή είναι το όριο της διαφοράς μεταξύ της αρμονικής σειράς και του φυσικού λογαρίθμου. Μέσω αυτής της προσαρμογής, μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι η διαφορά μεταξύ του Προϊόντος του Όιλερ και του Φυσικού Λογαρίθμου τείνει στο μηδέν στο άπειρο, όπως και το αμοιβαίο του, το οποίο, όπως είδαμε, αντιστοιχεί στην πυκνότητα των πρώτων αριθμών. Η αύξηση των πρώτων αριθμών υπολογίζεται με το ολοκλήρωμα της πυκνότητάς τους: κατά συνέπεια, η διαφορά μεταξύ της αύξησης του ολοκληρώματος της πυκνότητας των πρώτων αριθμών και της αύξησης του ολοκληρώματος του αμοιβαίου του φυσικού λογαρίθμου μειώνεται επίσης σταδιακά χωρίς αποκλίσεις. Αλλά το ολοκλήρωμα του αντίστροφου του Φυσικού Λογαρίθμου είναι ακριβώς ο Ολοκληρωτικός Λογάριθμος, και η Υπόθεση Ρίμαν υπονοεί ότι η διαφορά μεταξύ της ποσότητας των Πρώτων Αριθμών και του Ολοκληρωτικού Λογαρίθμου παραμένει εντός ενός πολύ ακριβούς ορίου σφάλματος, το οποίο έχει αποδειχθεί ότι είναι το «μικρότερο δυνατό». Τώρα, ένας τεράστιος αριθμός διαδοχικών τιμών της Αριθμητικής Συνάρτησης των Πρώτων Αριθμών έχει υπολογιστεί μέχρι σήμερα, και καμία από αυτές δεν αποκλίνει από αυτό το όριο σφάλματος, επιβεβαιώνοντας έτσι την υπόθεση Ρίμαν. Η διατριβή μου είναι ότι εάν, όπως έχουμε δείξει, η διαφορά μεταξύ της πυκνότητας των πρώτων αριθμών και της αντίστροφης του φυσικού λογαρίθμου τείνει στο μηδέν χωρίς πιθανές αποκλίσεις, ακόμη και όλες οι άπειρες τιμές της αριθμητικής συνάρτησης των πρώτων αριθμών υψηλότερες από αυτές που υπολογίστηκαν μέχρι σήμερα παραμένουν αναγκαστικά εντός του ορίου σφάλματος που συνεπάγεται την εγκυρότητα της υπόθεσης Ρίμαν.

Κατά συνέπεια, όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης Ζήτα Ρίμαν έχουν πραγματικά μέρη 1/2.

Αυτό, κατά τη γνώμη μου, αποδεικνύει την υπόθεση Ρίμαν χωρίς την ανάγκη περαιτέρω υπολογισμών ή επιβεβαιώσεων.

Εάν η Επιστημονική Κοινότητα μπορέσει να επιβεβαιώσει αυτό το αποτέλεσμα, με βάση αυτά που έχω παραδώσει στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών ή με βάση περαιτέρω υπολογισμούς και υπολογιστικές εργασίες επαλήθευσης, θα μπορέσουμε τελικά να προσθέσουμε τον Ελλείποντα Κρίκο, αποδεικνύοντας έτσι ότι τα Άτομα των Μαθηματικών και τα Άτομα της Ύλης είναι το αποτέλεσμα της ίδιας, τέλειας Συμπαντικής Αρμονίας που ήδη σύμφωνα με τους αρχαίους Πυθαγόρειους ρύθμιζε την κίνηση των Άστρων. Ο Γάμος μεταξύ των δύο Ημισφαιρίων του Εγκεφάλου και μεταξύ των δύο Ημισφαιρίων του Κόσμου, γίνεται έτσι ο Γάμος μεταξύ Ουρανού και Γης και, ποιος ξέρει, ίσως ακόμη και μεταξύ Κβαντικής Φυσικής και Γενικής Σχετικότητας.

Είμαι πεπεισμένος ότι η Ανθρωπότητα, το 2024, αξίζει ένα τέτοιο επίτευγμα! Ανεξάρτητα από αυτό, ελπίζω ότι ο διάλογος θα μπορέσει να συνεχιστεί. Όπως λένε, αυτό που έχει σημασία είναι ο Προορισμός, αλλά ακόμα περισσότερο το Ταξίδι! Ως εκ τούτου, παραμένω διαθέσιμος να μοιραστώ περισσότερες λεπτομέρειες της έρευνάς μου.

https://www.giulianodibernardo.com/