ΑΠΟ ΤΟ ΟΜ ΣΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ....[Πώς ο Ήχος της Δημιουργίας καταδεικνύει το μεγαλύτερο Μυστήριο των Μαθηματικών]

 του Alessandro Dolci

Πώς ο Ήχος της Δημιουργίας καταδεικνύει το μεγαλύτερο Μυστήριο των Μαθηματικών

«Οι μαθηματικοί προσπάθησαν μέχρι τώρα μάταια να ανακαλύψουν κάποια τάξη στην ακολουθία των πρώτων αριθμών και έχουμε λόγους να πιστεύουμε ότι αυτό είναι ένα μυστήριο στο οποίο δεν θα διεισδύσει ποτέ ο νους».

Αυτά είναι τα λόγια του Leonhard Euler (Βασιλεία, 1707 – Αγία Πετρούπολη, 1783), ενός από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία. Ακόμη και σήμερα, τρεις αιώνες μετά τον Euler, οι Πρώτοι Αριθμοί παραμένουν τυλιγμένοι στο απόλυτο μυστήριο, τόσο που ο διάσημος μαθηματικός και επιστημονικός εκλαϊκευτής Marcus de Sautoy, στο βιβλίο του «The Enigma of Prime Numbers» (πρωτότυπος τίτλος: «The music of the primes ”), εκφράζεται ως εξής:

«Στην καρδιά των μαθηματικών, της αναζήτησης της τάξης, οι μαθηματικοί μπορούν να ακούσουν μόνο τον ήχο του χάους. Οι μαθηματικοί δεν αντέχουν να παραδεχτούν ότι δεν υπάρχει εξήγηση για τον τρόπο με τον οποίο η Φύση επέλεξε τους πρώτους αριθμούς. Αν τα μαθηματικά δεν είχαν δομή, αν δεν είχαν τη δική τους υπέροχη απλότητα, δεν θα άξιζε να μελετηθούν». Είναι ακόμα:

«Είναι αλήθεια ότι οι φυσικοί συνηθίζουν ολοένα και περισσότερο στην ιδέα ότι ένα κβαντικό ζάρι αποφασίζει τη μοίρα του σύμπαντος και ότι κάθε ρίψη αυτών των ζαριών καθορίζει πού θα βρουν οι επιστήμονες την ύλη. Αλλά προκαλεί μια ορισμένη αμηχανία να πρέπει να παραδεχθούμε ότι οι θεμελιώδεις αριθμοί στους οποίους βασίζονται τα μαθηματικά ξεδιπλώθηκαν από τη Φύση πετώντας ένα νόμισμα, αποφασίζοντας με κάθε ρίψη την τύχη ενός αριθμού. Η τυχαιότητα και το χάος είναι ανάθεμα για τον μαθηματικό».

Οι πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί που είναι αδιαίρετοι σε ίσα ολόκληρα μέρη. Στην Κίνα ονομάζονται «ανδρικοί αριθμοί».

Η τακτοποίησή τους είναι εντελώς χαοτική και απρόβλεπτη.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97… ?

Είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ποιος θα είναι ο επόμενος αριθμός στη σειρά εξετάζοντας την ακολουθία με γραμμικό τρόπο.

Μέχρι σήμερα, δεν μπορέσαμε να κατανοήσουμε καμία λογική ή διαδικασία που θα μπορούσε να καθορίσει τη διευθέτησή τους. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής που χρονολογείται από τον Ευκλείδη (4ος αιώνας π.Χ. – 3ος αιώνας π.Χ.), διδάσκει ότι όλοι οι Φυσικοί Αριθμοί είναι το αποτέλεσμα ενός και μόνο συνδυασμού πρώτων παραγόντων. Για το λόγο αυτό, οι Πρώτοι Αριθμοί ορίζονται επίσης ως Άτομα των Μαθηματικών, και υπάρχει μια πολύ βαθιά σύνδεση μεταξύ της συμπεριφοράς των Πρώτων Αριθμών που είναι τα Άτομα των Μαθηματικών και της συμπεριφοράς των πραγματικών Ατόμων, που επομένως συνδέει την Κβαντική Φυσική και τη Θεωρία των Αριθμών, τα μυστήρια των αριθμών με αυτά της ύλης.

Το 1973, στο θρυλικό Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών στο Πρίνστον, ο μαθηματικός Hugh Montgomery (1944) και ο φυσικός Freeman Dyson (1923-2020), συνειδητοποίησαν ότι η Κατανομή των Πρώτων Αριθμών είναι στατιστικά ίση με αυτή των ενεργειακών επιπέδων του πυρήνα. ενός βαριού ατόμου. Επομένως, η κατανόηση των Πρώτων Αριθμών σημαίνει επίσης διείσδυση στα μυστήρια της Κβαντικής Φυσικής. Ο ίδιος ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, αντιμέτωπος με την επανάσταση του Κβαντικού χάους, είχε ένα κίνημα άρνησης, με το περίφημό του: "Ο Θεός δεν παίζει ζάρια!"

Τι κρύβεται πίσω από το φαινομενικά αδιαπέραστο χάος των Πρώτων Αριθμών και τις χαοτικές κινήσεις που ζωντανεύουν τη μικροσκοπική δομή της Ύλης; Μια ζαριά ή κάτι παραπάνω;

Για περισσότερα από 2000 χρόνια οι μαθηματικοί προσπάθησαν μάταια να ξετυλίξουν το Μυστήριο των Πρώτων Αριθμών.

Ωστόσο, έχουν επιτευχθεί ορισμένα σημαντικά αποτελέσματα. Το πρώτο από αυτά χρονολογείται από τον Ευκλείδη, ο οποίος έδειξε πρώτος το άπειρό του. Στη συνέχεια, ο Ερατοσθένης (Κυρήνη, γύρω στο 276 π.Χ. – Αλεξάνδρεια στην Αίγυπτο, γύρω στο 194 π.Χ.) ανέπτυξε το περίφημο κόσκινο του, ένα έξυπνο σύστημα για το «κοσκίνισμα» των Φυσικών Αριθμών εξαλείφοντας προοδευτικά τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού, λαμβάνοντας στη συνέχεια μόνο τα υπόλοιπα, τα οποία είναι επομένως Πρώτοι Αριθμοί. Αυτό το σύστημα εξακολουθεί να είναι η βάση πολλών αλγορίθμων παραγοντοποίησης και κρυπτογράφησης σήμερα. Αλλά και εδώ, αφού εντοπιστούν οι Πρώτοι Αριθμοί, φτάνουμε σε ένα ανυπέρβλητο εμπόδιο και πρέπει να σταματήσουμε, χωρίς να μπορούμε να κατανοήσουμε τη δομή πίσω από αυτούς. Το πρώτο ανατρεπτικό αποτέλεσμα οφειλόταν ωστόσο στον Carl Friedrich Gauss (Braunschweig 1777 – Göttingen, 1855), τον Μπετόβεν των μαθηματικών. Ο Gauss συνειδητοποίησε ότι αν εγκαταλείψεις την ιδέα να ανακαλύψεις τι καθορίζει την ακριβή θέση των Πρώτων Αριθμών και αντί να προσπαθήσεις να τους μετρήσεις, προκύπτει μια εξαιρετική κανονικότητα. Η ποσότητα των Πρώτων Αριθμών αυξάνεται κατά τρόπο στενά συνδεδεμένο με τη συνάρτηση Ολοκληρωμένου Λογάριθμου. Η εκπληκτική ανακάλυψη του Γκάους θα οδηγήσει σε αυτό που σήμερα ονομάζεται Θεώρημα Πρώτων Αριθμών, το οποίο θα αποδειχθεί πολύ αργότερα στα τέλη του 19ου αιώνα.

Η ανακάλυψη του Gauss συνδέεται με αυτό που είναι μέχρι σήμερα το πιο σημαντικό αποτέλεσμα στους Πρώτους Αριθμούς από τον Bernhard Riemann (Breselenz, 1826 – Selasca, 1866), τον Wagner των Μαθηματικών. Ο Riemann ανακάλυψε και έδειξε ότι τα άπειρα μη τετριμμένα μηδενικά μιας συνάρτησης που σχετίζεται με μιγαδικούς αριθμούς, που ονομάζεται συνάρτηση Riemann Zeta προς τιμήν του, εάν προστεθούν όλα, με τη μορφή ηχητικών κυμάτων, στη συνάρτηση Ολοκληρωμένου Λογάριθμου, παρέχουν την ακριβή ποσότητα πρώτους αριθμούς και συνεπώς, τη θέση τους. Εδώ προκύπτει μια πρώτη σύνδεση με τον ήχο και συνεπώς με τη μουσική, την οποία πολλοί ειδικοί της Θεωρίας Αριθμών έχουν ονομάσει Music of Prime Numbers. Υπάρχει μόνο ένα πρόβλημα: τα μηδενικά αυτής της συνάρτησης, εκτός του ότι είναι άπειρα και πολύ δύσκολα στον υπολογισμό, φαίνονται να είναι όλοι παράλογοι αριθμοί, επομένως αποτελούνται από άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία, και φαίνονται επίσης να είναι υπερβατικοί αριθμοί, δηλαδή εκφράζεται μόνο ως όριο μιας άπειρης σειράς πράξεων, όπως ο περίφημος αριθμός Pi. Η αντιστοιχία τους με τη θέση των Πρώτων Αριθμών είναι αληθινή και αποδεδειγμένη, αλλά κάτι παραμένει πολύ ασαφές.

Ωστόσο, αυτή η εξαιρετική σύνδεση υποδηλώνει ότι κάτω από το χάος που προέρχεται από τη διάταξη των Πρώτων Αριθμών υπάρχει μια απόκρυφη αρμονία. Στην πραγματικότητα, ο Riemann υπέθεσε ότι αυτά τα μηδενικά που συνδέονται με την κατανομή των Πρώτων Αριθμών είναι όλα τοποθετημένα σε μια γραμμή τιμής ½ που ονομάζεται Κρίσιμη Γραμμή. Αυτή είναι η περίφημη υπόθεση Riemann, και θεωρείται σήμερα το πιο σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα σε όλα τα Μαθηματικά.

Αν ήταν αλήθεια, θα σήμαινε ότι η ποσότητα των πρώτων αριθμών αυξάνεται με εξαιρετικά κανονικό τρόπο και κοντά σε αυτήν της συνάρτησης Ολοκληρωμένου Λογαρίθμου, σαν το Χέρι του Δημιουργού που σχεδιάζει την καμπύλη των Πρώτων Αριθμών είχε μια εξαιρετική ικανότητα και δεν έκανε κανένα λάθος ή λάθη. Θα έπρεπε να το πιστέψεις!

Στη συνέχεια, τα πιο σημαντικά έργα για τους πρώτους αριθμούς των David Hilbert, George Pólya, Godfrey Hardy, John Littlewood, Atle Selberg, Paul Erdős, Alan Turing, John von Neumann, Enrico Bombieri, Terence Tao και πολλών άλλων περιστρέφονται σε μεγάλο βαθμό γύρω από την υπόθεση Riemann. .

Στους νεότερους χρόνους ξεχωρίζει η εργασία των φυσικών Giuseppe Mussardo του SISSA (International School for Advanced Studies) στην Τεργέστη και του Andrè LeClair του Πανεπιστημίου Cornell στην Ιθάκη (Νέα Υόρκη), που δημοσιεύτηκε στο Journal of Statistical Mechanics (JSTAT). Μετά από μια κολοσσιαία και εξαιρετικά περίπλοκη υπολογιστική εργασία, οι Mussardo και LeClair συγκολλούν οριστικά τη σχέση μεταξύ της Υπόθεσης Riemann και της Κβαντικής Μηχανικής, αποδεικνύοντας ότι τα δεδομένα της αυστηρής εμπειρικής παρατήρησης καθορίζουν την αντιστοιχία μεταξύ της συμπεριφοράς των Πρώτων Αριθμών και εκείνων της κίνησης Brownian των ατόμων αερίου. συγκρούονται αδιάκοπα μεταξύ τους, απομακρύνονται με χρόνο ισχύος 1/2, που συνδέεται ακριβώς με τη διάταξη των μη τετριμμένων μηδενικών της Συνάρτησης Ζήτα Riemann, υποθέτοντας ότι η Υπόθεση Riemann είναι αληθής. Αυτή η σημαντική εργασία δίνει την οριστική επιβεβαίωση ότι η απόδειξη της Υπόθεσης Riemann σημαίνει επίσης ότι αποδεικνύεται ότι η αντιστοιχία με την Κβαντική Φυσική ισχύει για όλους τους άπειρους Πρώτους Αριθμούς, κλείνοντας τον κύκλο της σχέσης μεταξύ των ατόμων των μαθηματικών και των ατόμων της φυσικής.

Αλλά δεν είναι δυνατόν να τα αποδείξουμε όλα αυτά χωρίς να κατανοήσουμε το μεγαλύτερο μυστήριο σχετικά με τους Πρώτους Αριθμούς, δηλαδή την ακριβή φύση των χαοτικών διακυμάνσεων τους, τόσο όμοιες με αυτή των σωματιδίων ενός κβαντικού συστήματος. Και είναι ακριβώς αυτό το Μυστήριο που καταδεικνύεται από τον Sound.

Για να καταλάβουμε πώς, πρέπει να επιστρέψουμε στην ανακάλυψη του Bernhard Riemann και του Zeta Function, που όπως είδαμε αντιπροσωπεύει την πρώτη σύνδεση με τη Μουσική των Πρώτων Αριθμών.

Στην πραγματικότητα, η λειτουργία Riemann Zeta βασίζεται στη σειρά Harmonic. Τι είναι η Αρμονική Σειρά;

Η Αρμονική Σειρά είναι το απλούστερο και βασικότερο ακουστικό φαινόμενο. Ο πρώτος που μελέτησε σε βάθος αυτό το φαινόμενο ήταν ο Πυθαγόρας (Σάμος, μεταξύ 580 π.Χ. και 570 π.Χ. - Μεταπόντο, γύρω στο 495 π.Χ.), ο οποίος ανακάλυψε ότι με δόνηση χορδών διαφορετικού μήκους λαμβάνονταν ήχοι διαφορετικού ύψους. Σύμφωνα με την Πυθαγόρεια Σχολή, η οποία χρονολογείται από τον 4ο αιώνα π.Χ., αυτές οι αριθμητικές αναλογίες που συνδέονται με ήχους ήταν στην αρχή του ίδιου του Σύμπαντος και ρύθμιζαν την κίνηση των ουράνιων σωμάτων: ήταν η έννοια της Συμπαντικής Αρμονίας.

Έτσι προέκυψε μια θεμελιώδης ιδιότητα των δονούμενων χορδών: αφού στερεώνονται στα δύο άκρα, οι δονήσεις που παράγουν μπορούν να είναι μόνο ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους δόνησης, γιατί διαφορετικά το μήκος των κραδασμών δεν θα μπορούσε να συμπίπτει με την απόσταση των ακίδων στις οποίες η χορδή είναι σταθερό. Κάθε φορά που διεγείρεται μια χορδή, παράγει άπειρους κραδασμούς που διαδίδονται μεταξύ των δύο άκρων: το φαρδύ έχει μια συχνότητα που εξαρτάται από το συνολικό μήκος της χορδής. Έπειτα, υπάρχουν πιο οξείες που ονομάζονται μερικές αρμονικές, οι οποίες είναι άπειρες και έχουν διπλές, τριπλές, τετραπλές, πενταπλάσιες συχνότητες και αντιστοιχούν σε όλα τα πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας. Η συχνότητα μετριέται συνήθως σε Hertz, δηλαδή τον αριθμό των κραδασμών ανά δευτερόλεπτο. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των δονήσεων, τόσο υψηλότερο είναι το ύψος της αντιληπτής μουσικής νότας. Μια υψηλότερη συχνότητα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη περίοδο δόνησης, η οποία στην περίπτωση των μερικών αρμονικών μιας δονούμενης χορδής αντιστοιχεί σε μισό, ένα τρίτο, ένα τέταρτο, ένα πέμπτο και μετά ένα διαιρούμενο με όλους τους φυσικούς αριθμούς, μέχρι το άπειρο , σε σύγκριση με το μήκος της θεμελιώδους χορδής. Αυτή ακριβώς είναι η Αρμονική Σειρά, δηλαδή το σύνολο των περιόδων των αρμονικών συχνοτήτων μιας δονούμενης χορδής, που όταν αθροίζονται μαζί δίνουν το Αρμονικό Φάσμα της.

Το Αρμονικό Φάσμα, το σύνολο της θεμελιώδους συχνότητας και όλων των αρμονικών μερικών του, ορίζει το Τίμβρο ενός ήχου. Επομένως, η σειρά Harmonic δεν συνδέεται ειδικά με τη δόνηση χορδής, παρόλο που η δόνηση χορδής είναι ο απλούστερος τρόπος για να τη μελετήσουμε στη φυσική της εκδήλωση. Η σειρά Harmonic είναι αυτό που χαρακτηρίζει και το ηχόχρωμο της ανθρώπινης φωνής, αλλά και όλα τα μουσικά όργανα με συγκεκριμένο ύψος, δηλαδή αυτά που παράγουν καλά καθορισμένες μουσικές νότες, όπως για παράδειγμα μια τρομπέτα, ένα βιολί ή ένα πιάνο. Η αντίληψη ενός καθορισμένου ύψους εξαρτάται ακριβώς από το γεγονός ότι όλα τα μέρη ενός ήχου έχουν τις αναλογίες της Αρμονικής Σειράς μεταξύ τους, δηλαδή είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας. Το μαθηματικό άθροισμα των περιόδων δόνησης της Αρμονικής Σειράς, οι οποίες όπως είδαμε γίνονται όλο και μικρότερες όσο αυξάνεται η συχνότητα, είναι μια άπειρη σειρά κλασμάτων των οποίων η τιμή αποκλίνει, δηλαδή είναι άπειρη. Αυτοί οι κλασματικοί όροι έχουν αριθμητή το 1 και παρονομαστή όλους τους Φυσικούς Αριθμούς. Οι περίοδοι δόνησης της αρμονικής σειράς είναι ισοδύναμες με το μήκος μιας χορδής διαιρούμενη με όλους τους Φυσικούς Αριθμούς, ενώ οι συχνότητές τους αντιπροσωπεύουν τη θεμελιώδη συχνότητα που σχετίζεται με το μήκος της χορδής, πολλαπλασιαζόμενη με τη σειρά της επί όλους τους Φυσικούς Αριθμούς.

Η Αρμονική Σειρά είναι επομένως ο πραγματικός Ήχος των Φυσικών Αριθμών. Αλλά οι αριθμοί αντιπροσωπεύουν τις μαθηματικές αναλογίες του ήχου μιας δονούμενης χορδής ή ο ήχος μιας δονούμενης χορδής αντιπροσωπεύει τις αριθμητικές αναλογίες της Αρμονικής Σειράς;

Ο ήχος, από μόνος του, δεν υπάρχει έξω από τον εγκέφαλό μας. Σχηματίζεται μέσω διαταραχών πυκνότητας και πίεσης που διαδίδονται στην ατμόσφαιρα ξεκινώντας από μια δονητική πηγή και οι οποίες, φτάνοντας στον κοχλία μέσω του αυτιού και του τυμπάνου, διεγείρουν τους εγκεφαλικούς νευρώνες, οι οποίοι ανταποκρίνονται με ορισμένες νευρολογικές παρορμήσεις που ονομάζουμε "ήχο". », των οποίων οι ποιότητες καθορίζονται στην πραγματικότητα ακριβώς από τις συχνότητες, δηλαδή από τους αριθμητικούς λόγους αυτών των δονήσεων. Επομένως, εάν ο ήχος είναι ένα από τα μέσα με τα οποία αντιλαμβανόμαστε τις ποσότητες που αντιπροσωπεύουμε με αριθμούς, τότε ο Ήχος της Αρμονικής Σειράς είναι ο τρόπος μας να αντιλαμβανόμαστε τους Φυσικούς Αριθμούς ως Μουσική. Όπως είπαμε, η συνάρτηση Riemann Zeta βασίζεται ακριβώς στην Αρμονική Σειρά, η οποία την επεκτείνει στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών ανεβάζοντας όλους τους όρους σε έναν μιγαδικό εκθέτη. Οι μιγαδικοί αριθμοί προκύπτουν ως λύση στην τετραγωνική ρίζα των αρνητικών αριθμών και ο πρώτος που τους χρησιμοποίησε συστηματικά ήταν ο Ιταλός μαθηματικός Rafael Bombelli που έζησε τον 16ο αιώνα. Οι λειτουργίες με σύνθετους εκθέτες συνδέονται με τον ήχο και τη μουσική επειδή δημιουργούν ταλαντευτικά φαινόμενα που είναι ίδια με τα ηχητικά κύματα. Παράγουν αμιγώς μαθηματικά Ημιτονοειδή Κύματα τα οποία, στην ακουστική φυσική, αντιπροσωπεύουν την απλούστερη ηχητική δόνηση όλων, που αντιστοιχεί σε καθαρή συχνότητα χωρίς αρμονικές.

Στον φυσικό κόσμο, πριν από την άφιξη των ηλεκτρονικών συνθεσάιζερ, ο ήχος που πλησιάζει περισσότερο σε ημιτονοειδές κύμα ήταν αυτός του Diapason. Σήμερα, με τα ηλεκτρονικά μέσα είναι δυνατή η παραγωγή καθαρών ημιτονοειδών με πολύ απλό τρόπο. Η διάρκεια του κύκλου του ημιτονοειδούς κύματος είναι η περίοδός του, που αντιστοιχεί στη συχνότητα, δηλαδή το βήμα της νότας. Η δόνηση μιας χορδής μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα των άπειρων ημιτονοειδών κυμάτων, καθένα από τα οποία αντιπροσωπεύει μια αρμονική της αρμονικής σειράς της χορδής. Αυτό το άθροισμα άπειρων ημιτονοειδών κυμάτων ονομάζεται Σειρά Fourier, που πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό Joseph Fourier (Auxerre, 1768 – Παρίσι, 1830), ο οποίος ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε ότι με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατή η αναπαράσταση οποιασδήποτε κυματομορφής ως άθροισμα ημιτονοειδών. Αυτή η αρχή εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σήμερα για την κωδικοποίηση μουσικής σε φυσικά και ψηφιακά μέσα, όπως CD και mp3. Αν υπάρχει Ήχος Φυσικών Αριθμών, υπάρχει και Ήχος Πρώτων Αριθμών που να γίνεται αντιληπτός ως πραγματικός ήχος και όχι ως φανταστικός ήχος του Μπέρνχαρντ Ρίμαν;

Υπάρχει, και είναι ακριβώς ο δημιουργός Ήχος των Πρώτων Αριθμών που αποκαλύπτει το μυστήριο του φαινομενικά αξεδιάλυτου χάους τους, δείχνοντας πώς αυτό το χάος είναι προϊόν της πιο τέλειας Συμπαντικής Αρμονίας, δηλαδή της Αρμονίας των Αρμονιών, που είναι η Αρμονική Σειρά Αρμονικών Σειρών. Αυτή η μυστηριώδης αρμονία που είχε διαισθανθεί ο Bernhard Riemann στις περίπλοκες σπείρες της συνάρτησης Zeta και στα μηδενικά της στην κρίσιμη γραμμή 1/2 αποδεικνύεται πλήρως από τον Ήχο και από έναν Ήχο που ακούγεται ακόμη και από το ανθρώπινο αυτί! Ο συγγραφέας αυτού του άρθρου ασχολείται με ένα έργο που θα κάνει αυτόν τον ήχο να ακουστεί ως πραγματική μουσική. Στο μεταξύ, πρέπει να αρκεστούμε στο να το φανταζόμαστε! Πριν εμβαθύνουμε σε αυτό το Μυστήριο, ωστόσο, πρέπει να καταλάβουμε τι είναι ο Ήχος της Δημιουργίας και τι αντιπροσωπεύει για την Επιστήμη και για διαφορετικούς πολιτισμούς.

Για την Επιστήμη, ο Ήχος της Δημιουργίας είναι ο ήχος του Αρχέγονου Σύμπαντος, ο οποίος αντανακλάται στις διακυμάνσεις της ακτινοβολίας υποβάθρου, που είναι το παλαιότερο μέρος των φωτονίων του φωτός που φθάνουν στα επίγεια αστρονομικά παρατηρητήρια. Η ακτινοβολία υποβάθρου αντανακλά την κατάσταση του Σύμπαντος που βρίσκεται πλησιέστερα στο Big Bang, επομένως χρονολογείται πριν από δισεκατομμύρια χρόνια, και ακριβώς με βάση τις διακυμάνσεις της πυκνότητάς του είναι δυνατό να ανακατασκευαστεί ένας χάρτης των πρώτων στιγμών του Σύμπαντος. Αυτές οι διακυμάνσεις πυκνότητας είναι συγκρίσιμες με τα ηχητικά κύματα με τις αρμονικές τους, μερικές από τις οποίες ονομάζονται ακίνητες, ακριβώς όπως αυτές των δονούμενων χορδών. Με τη μόνη διαφορά ότι τα ηχητικά κύματα του ήχου του Αρχέγονου Σύμπαντος έχουν περιόδους εκατομμυρίων ετών φωτός!

Ο Ήχος της Δημιουργίας, από τη Μεγάλη Έκρηξη, στη συνέχεια αντηχεί σε πολλές παραδόσεις και πολιτισμούς, ξεκινώντας με το φύσημα του Σοφάρ. Ορισμένες παραδόσεις το κάνουν ακόμη και τον κεντρικό τους πυρήνα, και μεταξύ αυτών υπάρχουν οι βεδικές και βουδιστικές παραδόσεις, που ταυτίζουν τον Ήχο της Δημιουργίας με την ΟΜ. Ακόμα κι αν όλες οι θρησκευτικές παραδόσεις του κόσμου έχουν κοινές ρίζες, η καθεμία έχει επιλέξει ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό στοιχείο, και δυστυχώς, σε πολλές περιπτώσεις, αυτή η προσκόλληση στις ιδιαιτερότητες έχει δημιουργήσει και εξακολουθεί να προκαλεί πολλές συγκρούσεις. Όλοι παλεύουν για να αναγνωριστεί η ιδιαιτερότητά τους ως η «σωστή», χωρίς να καταλαβαίνουν ότι είναι όλοι! Το μόνο βέβαιο είναι ότι ο αγώνας εμποδίζει τον καθένα να φτάσει στον επιθυμητό στόχο, που είναι αυτός της Επιστροφής στις Καταβολές, δηλαδή η πλήρης και τέλεια ένωση με το Θείο. Ωστόσο, για τους Βέδες και τους Βουδιστές αυτό το στοιχείο είναι ο Ήχος του ΟΜ.

Φτάνουμε τώρα στην καρδιά του Μυστηρίου, δηλαδή, για να κατανοήσουμε τη δομή αυτού του Ήχου που περιέχει μέσα του τη μαθηματική επίδειξη του Coincidentia Oppositorum . Η πιο τέλεια Ορθολογική Αρμονία της Αρμονικής Σειράς, ξεκινώντας αποκλειστικά από τον εαυτό της και σε μια παραγωγική διαδικασία με μια ασυνήθιστη φράκταλ φύση, αναδεικνύει την πιο περίπλοκη και παράλογη πολυπλοκότητα: αυτή της Κατανομής των Πρώτων Αριθμών, που συμπεριφέρονται σαν χαοτικές κβαντικές κινήσεις άτομα. Πως?

Για να κατανοήσουμε τη φύση της Αρμονικής Σειράς Αρμονικών Σειρών που παράγει Πρώτους Αριθμούς, πρέπει να κατανοήσουμε ένα από τα πιο ασυνήθιστα φυσικά φαινόμενα: αυτό της συμπαθητικής δόνησης, το φαινόμενο με το οποίο ένα ελαστικό σώμα μπορεί να δονηθεί ακόμα κι αν δεν διεγείρεται άμεσα. Με άλλα λόγια: Αντήχηση. Ακόμη και πριν μέσω της ακουστικής φυσικής, είναι ένα φαινόμενο που βιώνουμε τον εαυτό μας στη σχέση μας με τους άλλους, με αυτό που ονομάζεται Ενσυναίσθηση. Όλα όσα κάνουν ή λένε οι άλλοι αντηχούν μέσα μας και κάνουν κάποιες χορδές της Ψυχής μας να δονούνται. Αλλά αυτές οι δονήσεις σίγουρα δεν είναι απλώς ένα θεωρητικό γεγονός. Είναι φυσικές δονήσεις που εμπλέκουν τα κύτταρά μας και τους νευρώνες μας, ιδιαίτερα τους καθρέφτες νευρώνες, και είναι αυτά που μας συνδέουν με τους άλλους και με τον κόσμο γύρω μας.

Ερχόμενοι τώρα στην Ακουστική Φυσική, η συμπαθητική δόνηση σημαίνει ότι ένα ενεργό συναρπαστικό σώμα προκαλεί την αντήχηση ορισμένων παθητικών σωμάτων ήχου. Αυτό μπορεί να συμβεί με Diapasons. Συμβαίνει όμως και με τα σχοινιά. Μερικά όργανα, όπως το σιτάρ, έχουν συμπαθητικές χορδές που δονούνται όταν κοπούν οι κύριες χορδές. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι το Σιτάρ, ένα από τα κύρια μουσικά όργανα της ινδουιστικής παράδοσης με επίκεντρο το ΟΜ, βασίζεται στην αρχή του συντονισμού των συμπαθητικών χορδών;

Αλλά τι σχέση έχουν οι συμπαθητικές δονήσεις με τους Πρώτους Αριθμούς;

Για να το καταλάβουμε αυτό, πρέπει να επιστρέψουμε στη σχέση μεταξύ της Αρμονικής Σειράς και της Δονούμενης Χορδής. Οι αριθμητικοί λόγοι της αρμονικής σειράς αντιστοιχούν στις περιόδους δόνησης των αρμονικών μιας χορδής. Ωστόσο, αν κοιτάξουμε τις συχνότητες, συνειδητοποιούμε ότι οι συχνότητες που μετρώνται σε Hertz (δονήσεις ανά δευτερόλεπτο) των μερικών αρμονικών μιας χορδής είναι όλες άπειρα ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητάς της. Η έννοια του πολλαπλασιασμού και του πολλαπλασιασμού είναι θεμελιώδης για τους Πρώτους Αριθμούς, επειδή οι πρώτοι αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι μόνο του εαυτού τους και του ενός. Αν θεωρήσουμε έναν φυσικό αριθμό ως τη θεμελιώδη συχνότητα μιας δονούμενης χορδής και τα πολλαπλάσια του ως τις άπειρες μερικές αρμονικές της, ολόκληρη η δομή των Φυσικών Αριθμών εμφανίζεται σε ένα νέο και καθαρότερο φως και ταυτόχρονα αναδύεται μέσα τους ένα πολυδιάστατη αρμονία άπειρης πολυπλοκότητας.

Αυτή η δομή αντιπροσωπεύεται ξεκάθαρα από τον περίφημο Πίνακα Πολλαπλασιασμού. Αν το εξετάσουμε από την άποψη των συμπαθητικών συντονισμών που συνδέονται με τις δονούμενες χορδές, έχουμε επομένως μια θεμελιώδη χορδή, που αποτελείται από συχνότητες σε Hertz της οποίας ο λόγος αντιστοιχεί σε όλους τους Φυσικούς Αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του ενός, τοποθετημένοι στην πρώτη σειρά και στην πρώτη στήλη του πίνακα πολλαπλασιασμού. Κάθε αρμονική αυτής της θεμελιώδους συμβολοσειράς αντιστοιχεί σε έναν φυσικό αριθμό και με τη σειρά του προκαλεί τον συντονισμό μιας συμπαθητικής χορδής που έχει αρμονικές με συχνότητες που αντιστοιχούν σε όλα τα πολλαπλάσια αυτού του φυσικού αριθμού: οι συμπαθητικές χορδές είναι οι σειρές και οι στήλες μέσα στον Πίνακα Πολλαπλασιασμού.

Η πρώτη συμπαθητική χορδή θα αντιστοιχεί στον αριθμό 2 και θα έχει αρμονικές των οποίων οι συχνότητες αντιστοιχούν σε όλα τα πολλαπλάσια του 2 , άρα 4 , 6 , 8 , 10 … Η δεύτερη συμπαθητική χορδή θα αντιστοιχεί στον αριθμό 3 , με αρμονικές που είναι πολλαπλάσια του 3 : 6 , 9 , 12 , 15 … Τότε το τρίτο θα αντιστοιχεί στα πολλαπλάσια του 4 που είναι 8 , 12 , 16 , 20 … το τέταρτο στα πολλαπλάσια του 5 και ούτω καθεξής μέχρι το άπειρο. Μιλάμε λοιπόν για άπειρες συμπαθητικές χορδές που διεγείρονται από μια θεμελιώδη χορδή, η οποία αντηχεί σε αρμονία με αυτήν, η καθεμία αντιστοιχεί σε καθεμία από τις άπειρες αρμονικές της θεμελιώδους χορδής. Κάθε μία από τις αρμονικές της θεμελιώδους χορδής αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη της αντίστοιχης συμπαθητικής χορδής. Είναι μια δομή φράκταλ, επειδή στην πραγματικότητα κάθε μία από τις αρμονικές σειρές των συμπαθητικών χορδών περιέχεται με τη σειρά της στη θεμελιώδη αρμονική σειρά. Επομένως, ανακαλύπτουμε ότι η Αρμονική Σειρά αποτελείται από άπειρα αντίγραφα του εαυτού της, το καθένα χτισμένο ξεκινώντας από κάθε αρμονική του. Εάν η δόνηση μιας χορδής μπορεί να θεωρηθεί ο Ήχος που αντιπροσωπεύει τους Φυσικούς Αριθμούς, ο ήχος που παράγεται από τη δόνηση άπειρων συμπαθητικών χορδών που διεγείρονται από μια θεμελιώδη δονούμενη χορδή μπορεί να θεωρηθεί ως Ήχος του Πίνακα Πολλαπλασιασμού. Ο πίνακας πολλαπλασιασμού είναι ένα τετράγωνο και, αν λάβουμε υπόψη το σύνολο των περιόδων των δονήσεων της θεμελιώδους χορδής και των άπειρων συμπαθητικών χορδών, αυτό είναι το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Πίνακα και αντιστοιχεί στο Ένα διαιρούμενο με όλους τους όρους του Πίνακα Πολλαπλασιασμού . Αυτό που λαμβάνουμε είναι η αρμονική σειρά στο τετράγωνο, δηλαδή το τετράγωνο της αρμονικής σειράς. Το τετράγωνο της αρμονικής σειράς καθορίζει επομένως την ακριβή θέση των άπειρων Πρώτων Αριθμών.

Δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι το OM, ο Θεμελιώδης Ήχος του Σύμπαντος που προέρχεται από τον Ήχο της Δημιουργίας, βασίζεται στην Αρμονική Σειρά, και τι καλύτερη αναπαράσταση αυτού του Ήχου από την Αρμονική Σειρά Αρμονικών Σειρών, από το φάσμα συχνοτήτων της οποίας το Οι αριθμοί εμφανίζονται πρώτα ως ένα από τα πιο σύνθετα φαινόμενα των Μαθηματικών και της Φύσης;

Για να μάθουμε τι συμβαίνει στην αλληλεπίδραση αυτής της άπειρης σειράς αρμονικών δονήσεων και συμπαθητικών συντονισμών που δημιουργούνται από το ΟΜ, πρέπει επομένως να εισαγάγουμε την έννοια του Φασματογράμματος. Όπως είδαμε, ο εγκέφαλός μας, χρησιμοποιώντας το τύμπανο και τον κοχλία, μεταφράζει τις δονήσεις και τις ποσοτικές τους σχέσεις σε ήχο. Αντίθετα, το φασματόγραμμα μεταφράζει αυτές τις ποσοτικές σχέσεις σε εικόνες. Η δομή ενός ήχου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά με δύο τρόπους: στον τομέα του χρόνου και στον τομέα της συχνότητας. Αυτό που αντιπροσωπεύει έναν ήχο στο πεδίο του χρόνου ονομάζεται παλμογράφος. Ο παλμογράφος μας δείχνει πώς το πλάτος μιας δόνησης ποικίλλει με την πάροδο του χρόνου, δηλαδή τις ταλαντώσεις της: στη συνέχεια σχεδιάζει μια καμπύλη που περιγράφει την κυματομορφή ενός συγκεκριμένου ήχου. Ο οριζόντιος άξονας της τετμημένης αντιπροσωπεύει το χρόνο και ο κατακόρυφος άξονας της τεταγμένης αντιπροσωπεύει το πλάτος. Η κυματομορφή ενός ήχου ορίζεται από τη σειρά Fourier, δηλαδή από ένα άθροισμα άπειρων ημιτονοειδών κυμάτων, τα βασικά συστατικά του ήχου. Αυτό που βλέπουμε στο σχήμα είναι η κυματομορφή του OM, ο Ήχος του Πίνακα Πολλαπλασιασμού που αντιστοιχεί σε άπειρες Δονούμενες Χορδές, που αναπαρίστανται όπως σε έναν παλμογράφο: αυτή η κυματομορφή δημιουργείται από μια πολύ ακριβή σειρά Fourier.

Το φασματόγραμμα, από την άλλη πλευρά, αντιπροσωπεύει το πλάτος των συχνοτήτων ενός δεδομένου ήχου, δηλαδή το αρμονικό του φάσμα. Είναι σαν να διασπάστηκε ο ήχος στα βασικά του συστατικά, όπως συμβαίνει με το φως σε ένα πρίσμα ή όταν βλέπουμε ένα ουράνιο τόξο. Τα βασικά συστατικά είναι τα ημιτονοειδή κύματα που συνθέτουν τη σειρά Fourier του συγκεκριμένου ήχου. Στο φασματογράφημα, ο οριζόντιος άξονας της τετμημένης είναι επομένως η συχνότητα και ο κατακόρυφος άξονας της τεταγμένης είναι το πλάτος. Για κάθε συχνότητα, το φασματόγραμμα μας δείχνει πόσο μεγάλη είναι η παρουσία του σε έναν ήχο, δηλαδή πόσο μεγάλο είναι το ημιτονοειδές κύμα που αντιστοιχεί σε αυτή τη συχνότητα (προφανώς, αν η συχνότητα δεν υπάρχει, το πλάτος του θα είναι μηδέν). Εάν χρησιμοποιήσουμε επίσης χρώμα, μπορούμε να αναπαραστήσουμε έναν ήχο ως πολύχρωμη εικόνα όπου τα ανοιχτότερα χρώματα αντιπροσωπεύουν συχνότητες με υψηλότερο πλάτος. Σε αυτήν την περίπτωση, ο άξονας τεταγμένων αντιπροσωπεύει τις συχνότητες και ο άξονας x αντιπροσωπεύει το χρόνο. Μπορούμε έτσι να αναπαραστήσουμε την εξέλιξη ενός ηχητικού φάσματος με την πάροδο του χρόνου.

Στο σχήμα βλέπουμε την αναπαράσταση της κατανομής των πλατών στο φάσμα OM, δηλαδή το φασματόγραμμά του, στο εύρος συχνοτήτων μεταξύ 4 000 000 Hz και 4 001 500 Hz (πολύ πέρα ​​από τις συχνότητες που ακούγονται στο ανθρώπινο αυτί!). Τα υψηλότερα σημεία στον κατακόρυφο άξονα τεταγμένων είναι οι συχνότητες που αντηχούν περισσότερο στην κυματομορφή που απεικονίζεται στο προηγούμενο σχήμα, εκείνες που αντιστοιχούν στους σύνθετους αριθμούς. Τα σημεία στο επίπεδο της θάλασσας, ωστόσο (αυτά στην οριζόντια γραμμή παρακάτω), είναι αντίθετα οι συχνότητες που αντιστοιχούν στους Πρώτους Αριθμούς, οι οποίοι είναι όλοι ακριβώς του ίδιου πλάτους, το ελάχιστο που υπάρχει στο φάσμα. Οι τύποι που δημιουργούν αυτήν την κυματομορφή και αυτή την κατανομή πλάτους είναι πολύ απλοί. Η πιο περίπλοκη πολυπλοκότητα συχνά κρύβει πολύ απλές αρχές παραγωγής: είναι το περίφημο Φαινόμενο Πεταλούδας που αναφέρεται από τον Edward N. Lorenz (West Hartford, 1917 – Cambridge, 2008). Ακριβώς όπως οι αστρονόμοι, μέσω μιας γραφικής αναπαράστασης των διακυμάνσεων της πυκνότητας της ακτινοβολίας υποβάθρου του Σύμπαντος, μπορούν να ανακατασκευάσουν τον χάρτη του Αρχέγονου Σύμπαντος, εμείς, μέσω μιας γραφικής αναπαράστασης του διαφορετικού πλάτους των συχνοτήτων του OM που δημιουργούνται από άπειρες συμπαθητικές χορδές που δονούνται στο συντονισμό με μια μόνο θεμελιώδη χορδή, μπορούμε να ανακατασκευάσουμε τον Χάρτη των Φυσικών Αριθμών. Εάν το κάναμε αυτό, θα καταλήξαμε σε μια εικόνα εκπληκτικά παρόμοια με αυτή του Χάρτη ακτινοβολίας φόντου. Αυτό που θα βρίσκαμε σε αυτό, που αντιπροσωπεύεται από άπειρα σκοτεινά και τέλεια καθορισμένα σημεία (που αντιστοιχούν στα σημεία στο ελάχιστο επίπεδο του φασματογράμματος), είναι ακριβώς η ακριβής θέση όλων των άπειρων Πρώτων Αριθμών μεταξύ των Φυσικών Αριθμών. Η απόδειξη είναι απλή στην εξήγηση. Οι συχνότητες που είναι κοινές για τις διαφορετικές χορδές, αυτές που είναι πολλαπλάσια από περισσότερες από μία θεμελιώδεις, ενισχύουν η μία την άλλη και εμφανίζονται στο φασματογράφημα ως ελαφρύτερες κηλίδες (στο φασματόγραμμα, ως σημεία σε υψηλότερη θέση). Είναι η αρχή της συμπαθητικής αντήχησης για την οποία μιλήσαμε νωρίτερα. Οι συχνότητες που αντιστοιχούν στους Πρώτους Αριθμούς, ωστόσο, παραμένουν του ίδιου πλάτους, επειδή ανήκουν μόνο στη θεμελιώδη χορδή και ξεχωρίζουν ως πιο σκοτεινά σημεία (είναι τα σημεία στη χαμηλότερη θέση στο φασματογράφημα). Αυτές οι κοιλότητες του αρμονικού φάσματος είναι διατεταγμένες με φαινομενικά χαοτικό τρόπο και στερούνται οποιασδήποτε αρχής παραγωγής. Όποιος κοιτάζει αυτόν τον χάρτη χωρίς να ξέρει τι είναι, μπορεί να σκεφτεί ότι πίσω από όλα αυτά δεν υπάρχει τίποτα άλλο από το καθαρό χάος ή μια αρχή εντελώς άγνωστη από το ανθρώπινο μυαλό, όπως πίστευε ο Leonhard Euler τον 18ο αιώνα. Αλλά μόλις βρεθεί το Κλειδί, ανακαλύπτεται ότι αυτή η χαοτική κίνηση είναι το αποτέλεσμα της Τέλειας Συμπαντικής Αρμονίας των άπειρων δονούμενων χορδών σε συντονισμό με μια θεμελιώδη δονούμενη χορδή, όλα ακριβώς σε αρμονία αυτής της χορδής.

Τότε ανακαλύπτουμε ότι πίσω από το χάος των Πρώτων Αριθμών κρύβονται πολλά περισσότερα από το πέταγμα ενός νομίσματος! Και πίσω από το κβαντικό χάος των Ατόμων, εντελώς παρόμοιο με αυτό των Πρώτων Αριθμών;

Αυτή είναι η Αρμονία που άρχισε να βλέπει ο Ρίμαν πέρα ​​από τους πρώτους αριθμούς πριν από περισσότερα από 160 χρόνια! Σημαίνει ότι ισχύει η περίφημη Υπόθεση Riemann, ότι δηλαδή όλα τα μηδενικά της Συνάρτησης Ζήτα του είναι διατεταγμένα ακριβώς στην κρίσιμη γραμμή 1/2; Είναι αυτή η απόδειξη του μεγαλύτερου ανοιχτού προβλήματος στα μαθηματικά;

Θα μάθουμε σύντομα. Προς το παρόν, ας εξετάσουμε μόνο πόσο εκπληκτικό είναι ότι ο Χάρτης του Αρχέγονου Σύμπαντος και ο Χάρτης των Φυσικών Αριθμών που δημιουργούνται από το αρμονικό φάσμα του Ήχου του ΟΜ, του Ήχου της Δημιουργίας που ορίζει τη θέση όλων των Πρώτων Αριθμών, είναι τόσο όμοιοι .

Υπάρχει όμως κάτι ακόμα πιο ασυνήθιστο. Ας πάμε πίσω στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, το οποίο μας λέει ότι κάθε Φυσικός Αριθμός αποτελείται από έναν και μόνο συνδυασμό Πρώτων Αριθμών, όπως κάθε μόριο αποτελείται από έναν και μόνο συνδυασμό ατόμων. Το ένα δεν θεωρείται Πρώτος Αριθμός. Γιατί; Ακριβώς επειδή το Ένα διαιρεί κάθε Φυσικό Αριθμό και επομένως είναι ο Πανταχού Παρών.

Το Ένα αντιπροσωπεύει την Ολότητα και ως ολότητα δεν μπορεί να είναι μέρος των δικών του συνιστωσών.

Ας εξετάσουμε τώρα πώς συντίθενται οι Πρώτοι Αριθμοί για να δημιουργήσουν όλους τους Φυσικούς Αριθμούς, δηλαδή τον Ένα, όπως ακριβώς τα άτομα συντίθενται για να δημιουργήσουν το σύνολο του Σύμπαντος στο οποίο ζούμε. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό ξεκινώντας από την πρώτη συμπαθητική συμβολοσειρά με θεμελιώδες 2. Προς το παρόν δεν εξετάζουμε το πλάτος των διαφορετικών συχνοτήτων, αλλά μόνο την παρουσία ή την απουσία τους στο φάσμα. Επομένως, βλέπουμε ότι, από μόνη της, αυτή η συμβολοσειρά έχει άπειρες τρύπες που αντιστοιχούν σε περιττές συχνότητες . Αν προσθέσουμε τη συμπαθητική συμβολοσειρά που αποτελείται από όλα τα πολλαπλάσια του επόμενου πρώτου αριθμού που είναι το 3, βλέπουμε ότι γεμίζει μερικές από αυτές τις τρύπες, αλλά όχι όλες.

Προσθέτοντας τη συμβολοσειρά με το θεμελιώδες 4 (πολλαπλάσια του 4), δεν αλλάζει τίποτα, γιατί όλα τα πολλαπλάσια του 4 είναι επίσης πολλαπλάσια του 2. Μόνο η συμβολοσειρά που έχει συχνότητες που αντιστοιχούν σε πολλαπλάσια του 5, που είναι Πρώτος Αριθμός, αλλάζει περαιτέρω το αρμονικό φάσμα , προσθέτοντας μερικά κομμάτια που λείπουν, αλλά όχι όλα ! Μπορούμε να το μαντέψουμε: μόνο προσθέτοντας όλους τους Πρώτους Αριθμούς και τις αρμονικές τους, μπορούμε να ανακατασκευάσουμε το σύνολο των Φυσικών Αριθμών, δηλαδή όλες τις συχνότητες που ανήκουν στη Θεμελιώδη Χορδή που έχει συχνότητα Ένα.

Αυτό είναι το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, και σε αυτό βρίσκεται το Κλειδί για την απόδειξη της Υπόθεσης Riemann, το πιο σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα σε όλα τα Μαθηματικά: θα μιλήσουμε γι' αυτό στο δεύτερο μέρος του άρθρου. Κάθε Πρώτος Αριθμός, με τις άπειρες αρμονικές του, τροποποιεί ελαφρώς το αρμονικό φάσμα του OM, και αυτή η τροποποίηση συνεχίζεται για πάντα, επηρεάζοντας τι συμβαίνει μετά από δισεκατομμύρια και δισεκατομμύρια αρμονικές. Αλλά μόνο όλοι μαζί, οι Πρώτοι Αριθμοί και οι αρμονικές τους μπορούν να συμπίπτουν με το Ένα, την Ολότητα, συμπληρώνοντας όλα τα κομμάτια του παζλ. Κατά μία έννοια, αυτό συμβαίνει και σε εμάς. Ο καθένας μας κάνει μια συνεισφορά, όσο μικρή, όσο θεμελιώδης και απαραίτητη στο Σύμπαν και αυτή η συνεισφορά, σαν να ήταν η άπειρη σειρά των αρμονικών μας, θα παραμείνει για πάντα, προσθέτοντας κάτι μόνιμο στη Δημιουργία. Ακόμα κι αν δεν θα είμαστε πλέον παρόντες στην τρέχουσα μορφή μας, οι αρμονικοί συντονισμοί του καθενός μας θα έχουν φυτέψει σπόρους που θα έχουν φυτρώσει ίσως ποιος ξέρει πού και με εκπληκτικούς τρόπους, όπως οι αρμονικές κάθε Πρώτου Αριθμού δημιουργούν περίπλοκες και απροσδόκητες διαμορφώσεις που αναδύονται σε δισεκατομμύρια συχνότητες και δισεκατομμύρια φορές υψηλότερες, μέχρι το άπειρο. Αλλά μόνο όλοι μαζί, μπορούμε να συμπέσουμε με το Όλα, με Αυτόν που είναι ο Δημιουργός και που περιλαμβάνει τα πάντα και τους πάντες, γινόμενοι οι ίδιοι Συνδημιουργοί του Έργου Τέχνης της Ύπαρξης. Κατά την ανάλυση του τρόπου με τον οποίο οι Πρώτοι Αριθμοί συντίθενται ώστε να συμπίπτουν με το σύνολο των Φυσικών Αριθμών, συνειδητοποιούμε λοιπόν ότι όλες οι Αρμονικές Σειρές των συμπαθητικών δονούμενων χορδών περιέχονται στην Αρμονική Σειρά της Θεμελιώδους Χορδής, η οποία επομένως αποτελείται από άπειρα αντίγραφα εαυτό. Αυτή η δομή που δημιουργεί Πρώτους Αριθμούς είναι επομένως αυτό που ονομάζεται Fractal, στο οποίο κάθε συστατικό περιέχει μέσα του τη δομή του συνόλου. Είναι η αρχή που ορίζει τα ολογράμματα: η ολογραφική προβολή της Αρμονικής Σειράς δημιουργεί ένα πρίσμα άπειρων διαθλάσεων που καθορίζουν την ακριβή θέση των Πρώτων Αριθμών, των οποίων η χαοτική κατανομή μέχρι τώρα θεωρούνταν αδιαπέραστο Μυστήριο.

Ας επιστρέψουμε με το μυαλό μας στον Ήχο της Μεγάλης Έκρηξης και στη θαυματουργή αντιστοιχία που υπάρχει μεταξύ του Ήχου της Δημιουργίας, του ΟΜ, του φράκταλ της Αρμονικής Σειράς Αρμονικών Σειρών, της δόνησης των χορδών, του συμπαθητικού συντονισμού, της δομής του Αρχέγονου Σύμπαντος, οι κβαντικές κινήσεις των Ατόμων και η κατανομή των Πρώτων Αριθμών, τα Άτομα των Μαθηματικών. Δεν μπορούμε παρά να εκπλαγούμε από το θαύμα της Τέλειας Συμπαντικής Αρμονίας της Δημιουργίας, η οποία με την έκρηξη των άπειρων συντονισμών δημιουργεί την πολυπλοκότητα του Αρχέγονου Σύμπαντος και μαζί της τη χαοτική κβαντική κίνηση που κινεί τόσο τα άτομα της ύλης όσο και τα άτομα των μαθηματικών , δηλαδή Πρώτοι Αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι η Θεωρία της Γενικής Σχετικότητας, που αντιπροσωπεύει το μακροσκοπικά μεγάλο, και η Κβαντική Φυσική, που αντιπροσωπεύει το μικροσκοπικά μικρό, δεν μπορούν να βρουν κοινό έδαφος σήμερα. Αυτό που μόλις αποδείχθηκε φαίνεται να τους ενώνει τέλεια! Η πιο τέλεια Ορθολογική Αρμονία και η πιο περίπλοκη παράλογη Πολυπλοκότητα συμπίπτουν στον Ήχο του ΟΜ, και η πολυπλοκότητα του μικροσκοπικού περιλαμβάνει μέσα της την πολυπλοκότητα του μακροσκοπικού.

Αυτή δεν είναι μόνο η μαθηματική επίδειξη του Coincidentia Oppositorum , της Ένωσης των Αντιθέτων των Αλχημικών Ρεμπίς, αλλά και της κατ' εξοχήν Εσωτερικής Αρχής: Όπως επάνω, έτσι και κάτω, χαραγμένο στη Σμαραγδένια Ταμπλέτα, η οποία λέγεται ότι βρέθηκε στο Η Αίγυπτος πριν από τη χριστιανική εποχή, έργο του θρυλικού Ερμή Τρισμέγιστου, που οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι ταύτιζαν με τον θεό Τοθ, θεό της Σελήνης, της σοφίας και των μαθηματικών. Μια σύνθετη αρμονία που μας βλέπει πλέον πρωταγωνιστές, για να ολοκληρώσουμε το έργο που ξεκίνησε και ημιτελές. Μόλις γνωρίσετε το κλειδί για ένα φαινόμενο που προηγουμένως ήταν πολύ περίπλοκο για να το κατανοήσετε, γίνεστε ικανοί όχι μόνο να το αναπαράγετε, αλλά και να το τροποποιήσετε, αλλάζοντας τις μεταβλητές του τύπου που το δημιουργεί, με εξαιρετικά και ανεξάντλητα αποτελέσματα. Τώρα αυτή η Γνώση μας δόθηκε. Ας το αξιοποιήσουμε σωστά! Ξεκινήσαμε μιλώντας για τους Πρώτους Αριθμούς και ανακαλύψαμε ότι είναι οι Πρώτοι Αριθμοί που μιλούν για εμάς. Στην πραγματικότητα, κι εμείς, στις εξαιρετικές και πολύπλοκες αλληλεπιδράσεις μας, είμαστε σαν άπειρες Συμπαθητικές Χορδές που αντηχούν με μια και μόνο Θεμελιώδη Χορδή, που έχει αφαιρέσει ο Δημιουργός. Αλλά την ίδια στιγμή, ως άτομα, είμαστε σαν τους Πρώτους Αριθμούς που δημιουργούνται από αυτό: άπειροι πολύτιμοι λίθοι που βρίσκονται στις Αρμονικές Δονήσεις του Σύμπαντος, ο καθένας μοναδικός, πολύτιμος και αναντικατάστατος!

Ο κρίκος που λείπει

Σε αυτό το άρθρο, δείξαμε πώς το παράλογο χάος των Πρώτων Αριθμών παράγεται από την πιο τέλεια Ορθολογική Αρμονία, η οποία συμπίπτει με τον Πυθαγόρειο Πίνακα και με την αμοιβαία της που είναι το τετράγωνο της αρμονικής σειράς, που εκδηλώνεται στο φυσικό επίπεδο στον Ήχο του 'ΟΜ, που παράγεται από τη δόνηση άπειρων Συμπαθητικών Χορδών σε συντονισμό με μια Θεμελιώδη Χορδή. Αυτή η επίδειξη αποδεικνύει μαθηματικά την ταυτότητα μεταξύ του Ορθολογικού Νου και του παράλογου Νου, που είναι δύο όψεις της ίδιας Αρχής της Δημιουργίας, που είναι το Ένα. Στην Ανατολική Πνευματικότητα, αυτή η Αρχή της Δημιουργίας βρίσκεται εκφρασμένη στον ήχο του ΟΜ. Στη Δυτική Πνευματικότητα, αυτή η Αρχή της Δημιουργίας εκφράζεται αντίθετα στο Αρχή της Γένεσης, που συμβολικά αντιπροσωπεύεται από τη Γη και τον Ουρανό.

Αυτή η επίδειξη, λοιπόν, αποδεικνύει και μαθηματικά την Ενότητα μεταξύ της Ανατολικής και της Δυτικής Πνευματικότητας, μεταξύ των δύο Ημισφαιρίων του Κόσμου καθώς και μεταξύ των δύο Ημισφαιρίων του Εγκεφάλου.

Αν όμως στο επίπεδο των Μαθηματικών, δηλαδή του Ουρανού, μπορεί να δοθεί αυτή η επίδειξη, μπορεί να δοθεί και στο επίπεδο της Γης, δηλαδή του Φυσικού Κόσμου; Μπορεί ο Παράδεισος να είναι ένα μέρος στη Γη, όπως αναφέρει το διάσημο τραγούδι της Belinda Carlisle; Τα Άτομα των Μαθηματικών, που δημιουργούνται από μια Τέλεια Συμπαντική Αρμονία, είναι πραγματικά τα ίδια με τα Άτομα της Φυσικής; Μπορεί να πιστεύουμε ότι αυτό συμβαίνει, αλλά για να το αποδείξουμε μαθηματικά, υπάρχει μόνο ένας κρίκος που λείπει: η απόδειξη της υπόθεσης Riemann .

Η εργασία των Mussardo και LeClair μας λέει ότι, κάτω από αυστηρή εμπειρική παρατήρηση, τα Άτομα των Μαθηματικών συμπεριφέρονται ακριβώς όπως τα Άτομα της Φυσικής και αυτό φαίνεται να υπονοεί την Υπόθεση Riemann.

Δεν αρκεί όμως για να το αποδείξουμε. Χωρίς να αποδείξουμε την υπόθεση Riemann, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι όλοι οι άπειροι πρώτοι αριθμοί συμπεριφέρονται ακριβώςόπως τα Άτομα, και χωρίς να αποδείξουμε ότι όλοι οι Πρώτοι Αριθμοί συμπεριφέρονται σαν Άτομα, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ίδια Συμπαντική Αρμονία που καθορίζει την κίνηση των Πρώτων Αριθμών καθορίζει και την κίνηση των Ατόμων. Βρισκόμαστε στο κατώφλι μιας από τις πιο ανατρεπτικές ανακαλύψεις τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φυσική, και είναι καθήκον μας να περάσουμε αυτό το κατώφλι: είμαστε έτοιμοι να το κάνουμε. Πιστεύω ότι έχουμε το κλειδί για να φτάσουμε σε αυτήν την επίδειξη και, ως εκ τούτου, θεωρώ καθήκον μου να ανοίξω διάλογο με την επιστημονική κοινότητα. Ως εκ τούτου, θα περιγράψω εν συντομία αυτό που κατά τη γνώμη μου είναι το κλειδί για την απόδειξη της υπόθεσης Riemann, με την ελπίδα να κινήσω το ενδιαφέρον της Επιστημονικής Κοινότητας να ανοίξει αυτόν τον Διάλογο, μοιραζόμενοι έτσι την πιο τεχνική εργασία που έχω πραγματοποιήσει, μεταξύ των οποίων υπάρχει ακριβώς μια μελέτη που σχετίζεται με την απόδειξη της υπόθεσης Riemann. Αυτό το έργο (το οποίο είναι διαφορετικό από αυτό που εξήγησα προηγουμένως) εξετάζεται επί του παρόντος από το έγκριτο περιοδικό Annals of Mathematics του Ινστιτούτου Προηγμένων Μελετών στο Πρίνστον. Γνωρίζω πολύ καλά ότι μια τυπικά άψογη επίδειξη του πιο σημαντικού ανοιχτού προβλήματος στα μαθηματικά, από έναν μουσικό χωρίς ακαδημαϊκή κατάρτιση στο μαθηματικό πεδίο, είναι κάτι εξαιρετικά δύσκολο τόσο για όσους πρέπει να το προτείνουν όσο και για εκείνους που πρέπει να το αποδεχτούν. . Ωστόσο, είμαι πεπεισμένος ότι η κατεύθυνση που ακολουθήθηκε είναι η σωστή και ότι αυτός ο Διάλογος, που ξεκίνησε και μέσα από αυτό το Blog και ανεξάρτητα από την έκβαση αυτού του πρώτου βήματος, θα οδηγήσει στη Λύση πολύ σύντομα, με εξαιρετικά θετικές συνέπειες για όλα και όλους. Είμαι πολύ ευγνώμων για αυτό στον αγαπητό καθηγητή Di Bernardo, ο οποίος κατέστησε έτσι δυνατή την κατασκευή αυτής της Γέφυρας. Αλλά τώρα ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε αυτό το Κλειδί, προσπαθώντας να το συνδέσουμε με αυτό που εξηγήσαμε προηγουμένως. Η έκθεση θα αναφέρεται τώρα σε μερικές γνωστές και αποδεδειγμένες μαθηματικές έννοιες. Ο άπειρος αναγνώστης μπορεί να τα αναγνωρίσει ως αληθινά ακόμη και χωρίς να τα κατανοήσει πλήρως: η λογική συνοχή της επίδειξης παραμένει κατανοητή, όπως και ο ιδιαίτερος τρόπος σύνδεσης αυτών των εννοιών μεταξύ τους. Αυτή ακριβώς η σύνδεση αντιπροσωπεύει μια πιθανή καινοτομία που δεν έχει ακόμη αναγνωριστεί για την Επιστημονική Κοινότητα. Ως εκ τούτου, απευθύνομαι και σε οποιονδήποτε ειδικό αναγνώστη με αυτή τη σύντομη έκθεσή μου και θα χαρώ να μοιραστώ περισσότερες λεπτομέρειες σε περίπτωση ενδιαφέροντος. Ας επιστρέψουμε λοιπόν για να εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο οι Πρώτοι Αριθμοί, με τα πολλαπλάσιά τους, ενώνονται μεταξύ τους για να συμπίπτουν με το Ένα, την Ολότητα, που είναι το Θεμελιώδες Δονούμενο Κορδόνι από το οποίο παράγονται τα πάντα. Έχουμε ήδη περιγράψει αυτή τη διαδικασία προηγουμένως, μιλώντας για το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Αν θεωρήσουμε τον χώρο που καταλαμβάνουν στο σύνολο του φάσματος, δηλαδή το Ένα, οι Πρώτοι Αριθμοί με τα πολλαπλάσια τους, δηλαδή τις «αρμονικές» τους, μπορούμε να δείξουμε ότι η διαφορά μεταξύ αυτού του χώρου και του αντίστροφου του Φυσικού Λογαρίθμου μειώνεται στο μηδέν. Κατά τη γνώμη μου, αυτό συνεπάγεται την εγκυρότητα της υπόθεσης Riemann. Ας ξεκινήσουμε από τη συμπαθητική συμβολοσειρά που αντιστοιχεί στον πρώτο Πρώτο Αριθμό, δηλαδή το 2, του οποίου οι αρμονικές είναι όλες πολλαπλάσια του 2 (δηλαδή ζυγοί αριθμοί). Μπορεί να γίνει κατανοητό ότι ο χώρος που καταλαμβάνει αυτή η συμβολοσειρά στο συνολικό φάσμα που αντιστοιχεί στο 1 είναι ακριβώς το μισό. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί αφαιρώντας το 1/2 από1 :

Η επόμενη «τρύπα» στο φάσμα θα αντιστοιχεί στον επόμενο Πρώτο Αριθμό, δηλαδή 3 . Τα πολλαπλάσια του 3 θα καταλαμβάνουν χώρο που αντιστοιχεί στο 1/3 των συνολικών Φυσικών Αριθμών, εξαιρουμένων όμως όλων των πολλαπλασίων του 2 που αφαιρέσαμε προηγουμένως. Μπορούμε να το αντιπροσωπεύσουμε με

Με αυτόν τον τρόπο, η προηγούμενη ποσότητα αποκλείεται από τον χώρο που καταλαμβάνουν πολλαπλάσια/αρμονικές του 3.

Είναι προφανές ότι όλες οι αρμονικές της Συμπαθητικής Χορδής με το θεμελιώδες 4, που αντιστοιχούν σε πολλαπλάσια του 4, καταλαμβάνονται ήδη από πολλαπλάσια του 2 και δεν θα καταλαμβάνουν περαιτέρω χώρο. Η επόμενη παραλλαγή στο φάσμα θα συμβεί μόνο με τον επόμενο Πρώτο Αριθμό που είναι 5 και ο συνολικός χώρος που καταλαμβάνεται από τα πολλαπλάσιά του θα είναι:

γιατί πρέπει να εξαιρέσουμε τους προηγούμενους Πρώτους Αριθμούς με τα πολλαπλάσιά τους.

Εάν επεκτείνουμε αυτή τη διαδικασία στο σύνολο των Πρώτων Αριθμών, λαμβάνουμε το ακόλουθο άπειρο γινόμενο:

όπου το p αντιπροσωπεύει τον ν -ο Πρώτο Αριθμό. Καθώς το p αυξάνεται , αυτό το γινόμενο αντιστοιχεί στην πυκνότητα των Πρώτων Αριθμών σε σχέση με το Σύνολο των Φυσικών Αριθμών. Αλλά αυτό το προϊόν δεν είναι τίποτα άλλο από το αντίστροφο του περίφημου Προϊόντος Euler, ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα στα μαθηματικά.

Το αντίστροφο του προϊόντος Euler συμπίπτει με το αντίστροφο της συνάρτησης Riemann Zeta με τον εκθέτη 1, ο οποίος με τη σειρά του συμπίπτει με το άπειρο όριο του αντίστροφου του Φυσικού Λογαρίθμου συν μια μικρή σταθερά που ονομάζεται σταθερά Euler Mascheroni, της οποίας η τιμή είναι περίπου 0 , 57721. Αυτό που είπαμε ισχύει συνολικά, δηλαδή, λαμβάνοντας υπόψη όλους τους άπειρους όρους της αμοιβαιότητας του Προϊόντος Euler σε σχέση με τους άπειρους Πρώτους Αριθμούς. Ωστόσο, απομένει να συνδεθεί η ανάπτυξη του προϊόντος Euler με τον φυσικό λογάριθμο με την ανάπτυξη της ανεξάρτητης μεταβλητής τους. Εξαιρετικά, το Τρίτο Θεώρημα του Merthens μας επιτρέπει να δείξουμε ότι η ανάπτυξη του Προϊόντος Euler συμπίπτει τέλεια με αυτή του Φυσικού Λογαρίθμου. Για να βάλετε τις δύο συναρτήσεις "σε φάση", απλώς πολλαπλασιάστε το Προϊόν Euler με e -ϒ , όπου e είναι ο αριθμός Euler (μια σταθερά παρούσα παντού στη φύση, επειδή είναι εγγενής στις διαδικασίες οργανικής ανάπτυξης) και ϒ είναι η σταθερά του Euler Mascheroni, που εμφανίζεται παντού στη Θεωρία των Αριθμών γιατί είναι το όριο της διαφοράς μεταξύ της Αρμονικής Σειράς και του Φυσικού Λογαρίθμου. Μέσω αυτής της προσαρμογής, μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι η διαφορά μεταξύ του προϊόντος Euler και του φυσικού λογάριθμου τείνει στο μηδέν στο άπειρο, και το ίδιο ισχύει για την αμοιβαία του η οποία, όπως είδαμε, αντιστοιχεί στην πυκνότητα των Πρώτων Αριθμών. Η αύξηση των Πρώτων Αριθμών υπολογίζεται με το ολοκλήρωμα της πυκνότητάς τους: κατά συνέπεια, η διαφορά μεταξύ της αύξησης του ολοκληρώματος της πυκνότητας των Πρώτων Αριθμών και της αύξησης του ολοκληρώματος του αντίστροφου του Φυσικού Λογαρίθμου μειώνεται επίσης σταδιακά και χωρίς αποκλίσεις. Αλλά το ολοκλήρωμα του αμοιβαίου λόγου του Φυσικού Λογαρίθμου είναι ακριβώς ο Ολοκληρωμένος Λογάριθμος, και η Υπόθεση Riemann υπονοεί ότι η διαφορά μεταξύ της ποσότητας των Πρώτων Αριθμών και του Ολοκληρωμένου Λογαρίθμου παραμένει μέσα σε ένα πολύ ακριβές όριο σφάλματος, το οποίο έχει αποδειχθεί ότι είναι το « το ελάχιστο δυνατό». Τώρα, ένας τεράστιος αριθμός διαδοχικών τιμών της Αριθμητικής Συνάρτησης των Πρώτων Αριθμών έχει υπολογιστεί μέχρι σήμερα, και καμία από αυτές δεν αποκλίνει από αυτό το όριο σφάλματος, επιβεβαιώνοντας έτσι την Υπόθεση Riemann. Η διατριβή μου είναι ότι εάν, όπως έχουμε αποδείξει, η διαφορά μεταξύ της πυκνότητας των Πρώτων Αριθμών και της αντίστροφης του φυσικού λογάριθμου τείνει να εξαφανιστεί χωρίς πιθανές αποκλίσεις, ακόμη και όλες οι άπειρες τιμές της Αριθμητικής Συνάρτησης των Πρώτων Αριθμών είναι υψηλότερες από αυτά που έχουν υπολογιστεί μέχρι τώρα παραμένουν αναγκαστικά εντός του ορίου σφάλματος που συνεπάγεται την εγκυρότητα της Υπόθεσης Riemann.

Κατά συνέπεια, όλα τα μη τετριμμένα Μηδενικά της συνάρτησης Riemann Zeta έχουν πραγματικό μέρος 1/2.

Αυτό, κατά τη γνώμη μου, αποδεικνύει την Υπόθεση Riemann χωρίς την ανάγκη περαιτέρω υπολογισμών ή επιβεβαίωσης.

Εάν η Επιστημονική Κοινότητα μπορέσει να επιβεβαιώσει αυτό το αποτέλεσμα, με βάση αυτά που παρέδωσα στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών ή με βάση περαιτέρω υπολογισμούς και εργασίες υπολογιστικής επαλήθευσης, θα μπορέσουμε τελικά να προσθέσουμε τον σύνδεσμο που λείπει, αποδεικνύοντας έτσι ότι τα άτομα των Μαθηματικών και τα Άτομα της Ύλης είναι το αποτέλεσμα της ίδιας, τέλειας Συμπαντικής Αρμονίας που, σύμφωνα με τους αρχαίους Πυθαγόρειους, ρύθμιζε ήδη την κίνηση των Άστρων. Ο γάμος μεταξύ των δύο ημισφαιρίων του εγκεφάλου και μεταξύ των δύο ημισφαιρίων του κόσμου γίνεται επομένως ο γάμος μεταξύ Ουρανού και Γης και, ποιος ξέρει, ίσως και μεταξύ της Κβαντικής Φυσικής και της Γενικής Σχετικότητας.

Είμαι πεπεισμένος ότι η ανθρωπότητα, το 2024, αξίζει ένα τέτοιο επίτευγμα! Οπωσδήποτε, ελπίζω ότι ο Διάλογος μπορεί να συνεχιστεί. Όπως λένε, σημασία έχει ο Προορισμός, αλλά ακόμα περισσότερο το Ταξίδι! Ως εκ τούτου, παραμένω στη διάθεσή μου για να μοιραστώ περαιτέρω λεπτομέρειες της έρευνάς μου.

www-giulianodibernardo-com.